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湖南九校联盟改编自2009年北京卷的新定义
该篇素材选自昨天刚考的湖南九校联盟25届高三上学期第一次联考第19题。该题改编自2009年北京卷理科数学第20题的新定义，题干上将集合改成数列，设问上增加了很大难度！这篇对比解析这两道题。
【2009年北京高考理科T20】（关注微信公众号：Hi数学派）已知数集 ，，，（ ， ）具有性质 ：对任意的 （ ）， 与 两数中至少有一个属于 .
（1） 分别判断数集 与 是否具有性质 ，并说明理由；
（2） 证明： ，且（3） 证明：当 时，，，，， 成等比数列.
解析：
（1） 与 均不属于数集 ，所以该数集不具有性质 .
由于 ，，，，，，，，， 都属于数集 ,所以该数集具有性质 .
（2） 因为数集 具有性质 ，所以 与 中至少有一个属于
从而
所以
（3） 由 （2） 知，当 时，有 ， ，即
， 且
即，，，， 是首项为 ，公比为 的等比数列.
【湖南九校联盟25届高三上一联T19】（关注微信公众号：Hi数学派）若项数为 （ ， ） 的有穷数列 满足： ，且对任意的 （ ）， 或 是数列 中的项，则称数列 具有性质 .
（1） 判断数列 ，，， 与数列 ，，， 是否具有性质 ，并说明理由；
（2） 设数列 具有性质 ，（ ，，，）是 中的任意一项，证明： 一定是 中的项；
（3） 若数列 具有性质 ，证明：当 时，数列 是等比数列.
解析：
（1）
① 对于数列 ，，，
因为 ， ， ， ， ， ， （ ，，，）
所以数列 ，，， 具有性质 ；
② 对于数列 ，，，
因为 ， 都不是数列里的项
所以数列 ，，， 不具有性质
（2） 由数列 具有性质 ，则 不是数列 中的项
所以 为数列 中的项
故 ，所以 是数列 中的项
当 时，则 ，所以 不是数列 中的项
因为数列 具有性质 ，所以 一定是数列 中的项.
综上，（ ） 一定是 中的项.
（3） 依题意
由 （2） 可知 （ ）一定是 中的项
， ， ，， ，
即（关注微信公众号：Hi数学派）
当 ，则
不是数列 中的项
（ ） 是数列 中的项，且
即
因为 ，由以上可知 且
所以 且 ，所以
得（关注微信公众号：Hi数学派）
所以当 时，数列 为等比数列.
