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1272期近期常考卡西尼卵形线（双纽线）7性质
自从24年新高考多选压轴考了新定义曲线之后，很多地方的期末考和开学考多选压轴都是新定义曲线，比如心形线、三叶草曲线、四叶草曲线、双纽线以及卡西尼卵形线等等。这一篇就来借两道卡西尼卵形线的模考题详细讲一下有关其定义、方程和7大性质。
一、引入卡西尼卵形线 二、卡西尼卵形线方程 1、标准方程 2、极坐标方程 三、直观感受卡西尼卵形线 四、卡西尼卵形线几何性质 1、对称性 2、顶点 3、过原点 4、有界性 5、极值点 6、极值点与两焦点连线互相垂直 7、焦点三角形面积 五、近期模考中的卡西尼卵形线
一、引入卡西尼卵形线
先看一下同学们已知的椭圆、双曲线、圆（阿波罗尼斯圆）的定义，
平面内到定点 、 的距离 之和 等于常数（大于 ）的动点 的轨迹叫椭圆； 平面内到定点 、 的距离 之差 的绝对值等于常数（大于零且小于 ）的动点 的轨迹叫双曲线； 平面内到定点 、 的距离 之商 为常数（大于 且不等于 ）的点的轨迹是阿波罗尼斯圆。
同学们发现什么共同点了吗？
没错！就是以上三个定义都是通过到定点 、 的距离的四则运算定义的！
和差商 都出现了，那有没有通过 积 来定义的曲线？——
这就是今天介绍的卡西尼卵形线的定义
【卡西尼卵形线的定义】 平面内到两定点 、 的距离 之积 为定值的点的轨迹是卡西尼卵形线
二、卡西尼卵形线方程
1、标准方程
根据定义，可以仿照推导圆锥曲线的方法来推导卵形线的标准方程。
首先设曲线上任一点的坐标为 ，设 、 （定义 为卵形线的半焦距
依定义再设 ，则有
将等式的两边同时平方得
最后得到卡西尼卵形线的
标准方程：
同理，如果选取的两个焦点 、 在 轴上，坐标分别为 、 则推导出来的标准方程为
2、极坐标方程
以坐标原点为极坐标系的极点，以 正方向为极轴正方向，则有 ， ，于是 ， ，代入 标准方程 有
极坐标方程：
三、直观感受卡西尼卵形线
依照圆锥曲线的离心率的定义，不妨定义 ，然后根据 的变化来分析一下卡西尼卵形线的形态
（1） 当 时，卡西尼卵形线的形态如下
（2） 当 时，卡西尼卵形线的形态如下
（3） 当 时，卡西尼卵形线的形态如下
（4） 当 时，卡西尼卵形线的形态如下
（5） 当 时，卡西尼卵形线的形态如下
四、卡西尼卵形线几何性质
1、对称性
卡西尼卵形线是关于原点对称的中心对称图形，也是关于坐标轴对称的轴对称图形；
2、顶点
卡西尼卵形线有四个顶点，顶点因不同形态而有不同的位置，其中 时四个顶点， 轴、 轴各有两个顶点；当 时四个顶点均在 轴上。
3、过原点
卡西尼卵形线过原点的充要条件是
充分性：
若 ，即
可得到 ，是方程的一组解，故卡西尼卵形线过原点。
必要性：
当 ，时，代入方程 可得到 ，即
4、有界性
卡西尼卵形线是有界的， ，
如图所示 ，设点 位于卡西尼卵形线上
因为
根据定义可知
5、极值点
由 得
舍去负值
设
当 ， 或
因此卡西尼卵形线图像存在极大值、极小值点，不同形态下的极值点不一，具体如下
（1） 当 时，卡西尼卵形线图像上有两个极值点，分别是
（2） 当 时，卡西尼卵形线图像有六个极值点，分别是
（3） 当 时，卡西尼卵形线图像有四个极值点，分别是
注1： 当 时 也是极值点
注2： 这里的极值点与函数的极值点概念不同（函数的极值点指的是横坐标）
6、极值点与两焦点连线互相垂直
当 时，对卡西尼卵形线图像上任何一个极值点 ，都有
证明： 如图，过点 作 轴于点
由点 是极值点可知，
又 ，
7、焦点三角形面积
五、近期模考中的卡西尼卵形线
【广州真光中学25届高三开学质检T11】 天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时，发现了平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹 . 我们称其为卡西尼卵形线 . 在平面直角坐标系中，设定点为 ，，点 为坐标原点，动点 满足 . 下列四个命题中，正确的是
点 的轨迹既是中心对称又是轴对称图形
点 的横坐标的取值范围是
的最小值为
的面积的最大值为
解析： 由题意得 ，
（1） 由卡西尼卵形线的对称性可知， 正确
（2） 由卡西尼卵形线的有界性可知
故 错误
（3） 由基本不等式可知（关注微信公众号：Hi数学派）
当且仅当 时取等号
故 正确
（4） 由焦点三角形面积可知
故 正确
综上，选
【河南巅峰计划25届高三上一检T11】 双纽线是卡西尼卵形线的一类分支，在数学曲线领域占有至关重要的地位，同时也具有特殊的有价值的艺术美 . 它既是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素 . 双组线的图形轮廓像阿拉伯数字中的 “”，如图曲线 是双纽线，下列说法正确的是
曲线 的图象关于原点对称（关注微信公众号：Hi数学派）
曲线 经过 个整点（横、纵坐标均为整数的点）
曲线 上任意一点到坐标原点 的距离都不超过
若直线 与曲线 只有一个交点，则实数 的取值范围为
解析： 由题意得
（1） 由卡西尼卵形线的对称性可知， 正确
（2） 由卡西尼卵形线的有界性可知 ，
，
若 是整数，则 ，，
令 ， ，解得 或 或
故有三个整点 ，，
令 ， ，解得 或 ，此时无整点
故 错误
（3） 设曲线 上任一点
当 为原点时，到原点的距离为 ，满足题意
当 不为原点时，
则由 可得
所以点 到原点的距离 ，且
综上，曲线 上任一点 到原点的距离都不超过 ，故 正确;
（4） 直线 恒过原点 ，且曲线 经过 ，则直线与曲线至少一个公共点
又 与曲线 只有一个公共点，故除原点外无其他公共点.
联立（关注微信公众号：Hi数学派）
消去 得
当 时，方程 仅一解 ，满足题意;
当 时，
若 时，方程恒成立，即恒有一解
若 时，方程化简得
即当 时，方程无解，满足题意
综上， ，解得 或 ，故 正确.
因此，选
