1287期八省联考题19 三射线定理法（24、22年新Ⅰ卷也可用）

该篇素材选自河南省2025年高考综合改革适应性演练第19题。19题应该出乎很多人意料，首先没出新定义，其次竟然以立体几何压轴，这在高考甚至大型联考中都很少这样设置过！另外对于本题来说，第（1）题比较常规，一是证明面垂直，二是求外接球半径；第（2）题有一定难度，难点在于求最值。不过，利用三射线定理可以很快写出答案。在去年（24年）新Ⅰ卷的立体几何中也可以使用三射线定理快速写出答案。这一篇借此再讲一下立体几何中四大空间角定理。

注： 空间角定理并不能直接在考试中使用，在真不知道如何建系或用建系做计算量过大情况下，可以用但需要先证明。

• 一、八省联考中的双曲函数题
• 1、法 一，三射线定理法
• 2、法 二，常规建系法
• 二、四大空间角定理
• 1、三余弦定理（最小角定理）
• 2、三正弦定理（最大角定理）
• 3、三夹角定理
• 4、三射线定理
• 三、新教材中隐藏的最小角定理
• 四、以最小角定理为素材的新定义
• 五、空间角定理在高考中的应用

一、八省联考中的双曲函数题

【2025年八省高考综合改革适应性演练T19】（关注微信公众号：Hi数学派）在平面四边形 中， ， ， ，将 沿 翻折至 ，其中 为动点.
（1） 设 ，三棱锥 的各个顶点都在球 的球面上.
（i） 证明：平面 平面 ；
（ii） 求球 的半径；
（2） 求二面角 的余弦值的最小值.

解析： （1）

（i） 证明： 如图 1，

又 ， ，， 平面

平面

又 平面 ， 平面 平面

（ii） 由 （i） 可知 平面 ，将平面 当作底面，并设其外接圆半径为 ，则在 中，由正弦定理可知（关注微信公众号：Hi数学派）

因此球 的半径为 为

注： 这小问用到了侧棱垂直底面的外接球模型。

（2）

1、法 一，三射线定理法

如图 2，由 （1） 知 ，

设 ， ， ，二面角 的平面角大小为

（关注微信公众号：Hi数学派）所以

上面式 的最值可由数形结合求得，令 ， ，则点 在单位圆上，则式 可看做点 和点 连线斜率的倒数，即

求式 的最小值，即求斜率的最大值，由图 3 可知 最大值为 ，当且仅当 时取等号

因此式 的最小值为 ，当且仅当 时取等号

所以二面角 的余弦值的最小值为

注： 上面取得最小值时， ，这个角度在 沿 翻折过程中能否取到？（关注微信公众号：Hi数学派）

如图 4，未翻折时， ；如图 5，将 沿 翻折，使点 落到平面 内，此时，

在翻折过程中 是连续变化的，因此 可以取到

2、法 二，常规建系法

以点 为原点，以 为 轴正方向，以 为 轴正方向，建立如图 6 所示的坐标系

则 ，，

设 ，又 ，所以

（关注微信公众号：Hi数学派）即点 在如图 6 圆轨迹上运动

设 ，（该范围是图 6 中的上半圆，下半圆和上半圆是对称的）

所以

设平面 的一个法向量为 ，所以

设平面 的一个法向量为

显然二面角 的平面角 为锐角，所以

令 ，

所以（关注微信公众号：Hi数学派）

当 时，取等号

所以二面角 的余弦值的最小值为

二、四大空间角定理

1、三余弦定理（最小角定理）

【三余弦定理】（最小角定理） 如图 7，直线 平面 ，直线 平面 ，则 为直线 与平面 所成线面角， 为直线 与棱 （二面角 的棱）所成线棱角， 为直线 在平面 的射影 与棱 所成射影角，则 （关注微信公众号：Hi数学派）

证明：

，，

则

注： 由 ，且 知，，即 ，在这三个角中， 是最大的，其余弦值最小，等于另外两个角的余弦值的乘积。斜线与平面所成角 是斜线与平面内所有直线所成角中最小的。

2、三正弦定理（最大角定理）

【三正弦定理】（最大角定理） 如图 8，（关注微信公众号：Hi数学派）直线 平面 ，直线 平面 ，则 为直线 与平面 所成线面角， 为直线 与棱 （二面角 的棱）所成线棱角， 为二面角 的平面角，则

证明： ，，

则

注： 由  ，且 知，，即 ，所以二面角 的半平面 内的任意一条直线与另一个半平面 所成的线面角 不大于二面角 ，即二面角是线面角中最大的。

3、三夹角定理

【三夹角定理】（关注微信公众号：Hi数学派）如图 9，直线 、 的夹角为 ，直线 、 的夹角为 ，直线 、 的夹角为 ，则直线 与平面角 所成线面角 满足

证明： 设 ， ，则

由三余弦定理得

由 和 得 （关注微信公众号：Hi数学派）

将 代入上式得

所以

将 代入 得

4、三射线定理

【三射线定理】（关注微信公众号：Hi数学派）如图 10，以点 为顶点的三条射线分别是 、、，其中 、 的夹角是 ，、 的夹角是 ，、 的夹角是 ，则二面角 的大小 满足

证明： 在 和 中分别用余弦定理得

所以（关注微信公众号：Hi数学派）

则

注： 当二面角 的大小 时，三射线定理 退化为 三余弦定理 ，即

三、新教材中隐藏的最小角定理

在人教 版新教材必修二第 页旁栏思考部分的设问，引导同学们思考斜线与平面所成角是斜线与平面内所有直线所成角的大小关系，这正是最小角定理（三余弦定理）的内容：斜线与平面所成角是斜线与平面内所有直线所成角中最小的。

四、以最小角定理为素材的新定义

【T8 联盟25届高三联考样卷T19】（关注微信公众号：Hi数学派）三余弦定理：设 为平面 内一点，过点 的斜线 在平面 上的正投影为直线 . 为平面 内的一条直线，记斜线 与直线 的夹角（即直线 与平面 所成角）为 ，直线 与直线 的夹角为 ，直线 与直线 的夹角为 ，则 . 三余弦定理描述了线面角是斜线与平面内任意直线所成角的最小值，又称最小角定理.
（1） 证明三余弦定理；
（2） 如题图 2，已知三棱柱 , 为正三角形， ，求直线 与底面 所成角的正弦值；
（3） 如题图 3，已知平行六面体 ，记 为平行六面体体积， 为平行六面体表面积， 为平行六面体棱长总和，求证： .

解析：

（1）证明： 过点 作 直线 于点 ，过点 作 直线 于点

则 即为斜线 与平面 所成角 ； 即为斜线 在平面 的射影直线 与平面 内的直线 所成角所成角 ； 即为斜线 与平面 内的直线 所成角

， ，

又 ， ， 平面

平面

平面 ，

（2）（关注微信公众号：Hi数学派）取 中点为 ，连接 ，，，

，

, .

又 ， ， 平面 ， 平面

平面 ， 平面 平面

直线 在平面 上的射影必在交线 上

直线 与底面 所成角为

由三余弦定理得（关注微信公众号：Hi数学派）

即直线 与底面 所成角的正弦值为

（3）证明： 设 ， ， ， ， ， .

由平行六面体的对称性，不妨令 ，

设直线 与底面 所成角为

由三余弦定理可得 ， ，即 ，

由题意得

所以（关注微信公众号：Hi数学派）

当且仅当 ，旦 时等号成立

五、空间角定理在高考中的应用

注： 空间角定理并不能直接在高考解题中使用，在真不知道如何建系或用建系做计算量过大情况下，可以用但需要先证明。

【2024年新Ⅰ卷T17】（关注微信公众号：Hi数学派）如图 1，四棱锥 中， 底面 ， ，， . （关注微信公众号：Hi数学派）
（1） 若 ，证明: 平面 ；
（2） 若 ，且二面角 的正弦值为 ，求 .

解析：
（1） （详解略，可以参考小派之前的推文《2024新课标Ⅰ卷 • 全卷详细解析》）

（2） 建系法： 可以参考小派之前的推文《2024新课标Ⅰ卷 • 全卷详细解析》

三射线定理法：

底面 ， 平面 ，，

，， 平面

平面 ，

，

如图 2，设 ，，，

所以（关注微信公众号：Hi数学派）

设二面角 的平面角大小为

所以

解得

【2022新高考全国I卷T19】（关注微信公众号：Hi数学派）如图 1，直三棱柱 的体积为 ， 的面积为 ．
（1） 求 到平面 的距离；
（2） 设 为的 中点，，平面 平面 ，求二面角 的正弦值．

解析：

（1） （详解略）

（2） 建系法 以及建系指导（最大化利用轴截距建系）可以参考小派之前的推文《1241期 新教材中的解析立体几何（12点）》

三射线定理法：

由题意可得 ，，

在 中，

则

在 中，

则

设二面角 的平面角为

所以由三射线定理可得（关注微信公众号：Hi数学派）

从而