1273期圆锥曲线不联立系列14——齐次化6点

该篇是圆锥曲线不联立系列第14篇，之前的推文可以参看链接

《圆锥曲线不联立系列1——拉格朗日恒等式》
《圆锥曲线不联立系列2——柯西不等式》
《圆锥曲线不联立系列3——参数方程与万能代换》
《圆锥曲线不联立系列4——点差法与中点弦》
《圆锥曲线不联立系列5——定比分点与定比点差》
《圆锥曲线不联立系列6——截距点差法》
《圆锥曲线不联立系列7——轴点差于非轴点差》
《圆锥曲线不联立系列8——对偶构造》
《圆锥曲线不联立系列9——对偶构造之假平移》
《圆锥曲线不联立系列10——斜率双用》
《圆锥曲线不联立系列11——定比插参》
《圆锥曲线不联立系列12——曲线系》
《圆锥曲线不联立系列13——斜率同构》

该篇内容属于小派之前的内容，其中所论述的齐次化技巧思想是不联立不韦达的重要方法技巧，可以解决一些有关斜率的定点定值问题。 因此将改篇收录在《圆锥曲线不联立系列》中，熟悉的同学可以略过！

• 一、定点在原点的齐次化
• 1、齐次化原理
• 2、齐次化适用范围
• 3、齐次化典例实操
• 二、定点不在原点的齐次化
• 1、平移坐标系（曲线）操作步骤
• 2、假平移二次曲线操作步骤
• 3、定点不在原点的齐次化应用
• 三、齐次化思想的推广应用
• 1、齐次化诱导斜率关系
• 2、多个交点的齐次化推广
• 3、齐次化斜率同构
• 四、利用齐次化推出的10个常见结论
• 五、齐次化在模考中的应用
• 六、齐次化在高考中的应用

一、定点在原点的齐次化

“齐次” 即次数相等的意思，例如 称为二次齐式，即二次齐次式的意思，因为 中每一项都是关于 、 的二次项 ．（关注微信公众号：Hi数学派）

圆锥曲线的定义、定值、弦长、面积，很多都可以转化为斜率问题，当圆锥曲线遇到斜率之和或者斜率之积，以往我们的常用解法是设直线 ，与圆锥曲线方程联立方程组，韦达定理，再将斜率之和或之积的式子通分后，将 和 代入，得到关于 、 的式子．解法不难，计算量较为复杂．

如果采用齐次化解决，直接得到关于 的方程，会使题目计算量大大减少．

1、齐次化原理

如图 1，若直线 与二次曲线  相交于 ，，设点 、 的坐标分别为 、 ，则 ， ，

二次曲线 的一般方程为

1. 首先将直线化出 “”

将直线 化为截距式 ；

2. 其次利用 “” 构建关于 、 的齐次方程

操作方法是对二次曲线方程二次方项保持不变，一次方项同乘以 “”，常数项同乘以 “” 的平方，则可把二次曲线方程变为

将其化简得（关注微信公众号：Hi数学派）

为了简化运算，记

则方程 可化为（关注微信公众号：Hi数学派）

3. 最后对该齐次式两边同时除以

因为 ， 是直线 与二次曲线 的交点，

所以点 ，点 满足方程 ，即

因此 ， 是方程 的两个根，

由韦达定理可得（关注微信公众号：Hi数学派）

2、齐次化适用范围

由原理可知齐次化适应于处理解决曲线上的点与坐标系原点连线有关的斜率运算问题，常见类型如

前面两个考题相对比较常见，后面的则需要变形才能使用，变形如下（关注微信公众号：Hi数学派）

这个需要根据韦达定理判断符号再变形 ．

在遇到上述关于斜率运算问题时，采取齐次化处理往往能达到简化运算的目的 ．

3、齐次化典例实操

【典例1】（关注微信公众号：Hi数学派）如图 2，双曲线 上的两点 满足 ，其中点 为坐标原点，证明点 到直线 的距离为定值。

证明： 设直线 ，与双曲线联立可得

即上边关于 的方程的两解， ，

由韦达定理

齐次化的要点就是齐次，那么只要能把方程的项凑成齐次的形式，就可以使用这一种方法。

二、定点不在原点的齐次化

对于定点不在原点的情况，有两种操作手段，一是平移坐标系（或理解为平移定点到原点，二次曲线和直线也应随之平移），二是假平移二次曲线

1、平移坐标系（曲线）操作步骤

1. 平移定点到坐标原点：对二次曲线方程的做相应的操作，左加右减，上减下加；

2. 设直线方程为 （这是过平移后定点的直线）；

3. 通过直线将二次曲线齐次化，再同时除以

4. 应用韦达定理得到相应的斜率和或积

5. 注意对于过定点问题，最后需要平移回去

2、假平移二次曲线操作步骤

下面以椭圆 （ ）为例，（关注微信公众号：Hi数学派）进行说明

1. 设定点为 ，则不过该定点的方程可设为

2. 将椭圆 （ ）变形为

3. 将变形后的二次曲线平方项展开，这个过程中将 ， 看成一个整体

4. 通过直线将展开后的二次曲线齐次化，同时除以 ，构造关于 的一元二次方程

5. 应用韦达定理得到相应的斜率和或积

3、定点不在原点的齐次化应用

【典例2】（关注微信公众号：Hi数学派）已知椭圆 （ ）的短轴长为 ，且过点 .
（1） 求椭圆 的标准方程；
（2） 直线 与椭圆 相交于 、 两点，以 为直径的圆过点 ，求点 到直线 距离的最大值.

解析版：

（1）

（2）

椭圆方程可化为 ，变形为

即

设直线 的方程为 （如果 过点 ，距离显然不是最大值）

与椭圆方程联立构造齐次式为

（关注微信公众号：Hi数学派）即

设 ，

则 ， 是方程的两个根

又因为 ，所以

故

代入直线方程可知过定点

则当 时，点点 到直线 距离最大

最大值为

注： 以上是采用假平移二次曲线的方法，有关平移坐标系（曲线）的应用参看第四部分 【2020 全国 I 文理 T20】 的操作。

三、齐次化思想的推广应用

但是，齐次化思想也可以应用在一些另类的斜率关系题型，尽管可能不是最优解法，但也不输为一种不错的解法，下面就介绍一下有哪几种题型

1、齐次化诱导斜率关系

【典例3】（关注微信公众号：Hi数学派）如图 3 所示， 为椭圆  的左、右顶点，焦距长为 ，点 在椭圆 上，直线 ， 的斜率之积为 .
（1） 求椭圆 的方程；
（2） 已知 为坐标原点，点 ，直线 交椭圆 于点 （ 不重合），直线 ， 交于点 . 求证：直线 ， 的斜率之积为定值，并求出该定值 .

解析： （1）  

（2） 设直线 ，  ，则由题可知 ，

由几何关系可得（关注微信公众号：Hi数学派）

利用过定点 ，可设直线  ，对椭圆方程进行恒等变形

再看一个例子，其背景是对合诱导的圆幂定理

【典例4】 椭圆  的左焦点  ，点 为其左顶点。已知点 到椭圆上一动点 的距离的最大值为  。
（1） 求椭圆的标准方程；（关注微信公众号：Hi数学派）
（2） 定点  ，直线 与椭圆 的另一个交点为点 ，直线 与 轴垂直。若记直线 与直线 的交点分别为点 ，证明以 为直径的圆过定点，并求出定点的坐标。

解析： （1）  

（2）  利用齐次化证明

设直线 与直线 交于点 ，则上式表明

若记 与 交于点 ，则由圆幂定理可得

从而过定点 。

2、多个交点的齐次化推广

【典例5】 点 在双曲线 上，设 的外接圆的圆心为点 ，证明：

证明：

设点 ， ， 半径为

设 的外接圆与双曲线 的第四个交点为 ，由四点共圆可知

因此只需证

与通常的齐次化的方法的思想类似，拆出来 ， 以便于构造斜率。先对双曲线方程做代数变形

对圆的方程做代数变形

接下来需要构造齐次式，因此将上面两式相乘，则等号两边就都变成了关于 的三次齐次式，即得（关注微信公众号：Hi数学派）

将上式右侧移项至左侧，同时除以 ，得到关于 的三次方程    ，这里 的三个解便是 ，，  。然后只需关注 的三次项系数和常数项，而 ， ，由三次方程的韦达定理

故原命题得证。

注1： 同理可证

【结论】（关注微信公众号：Hi数学派）点 在椭圆 （ ） 上，设 的外接圆的圆心为点 ，证明：

注2： 高次韦达定理如下

【高次韦达定理】 设一元 次方程

的根为 ，则（关注微信公众号：Hi数学派）

3、齐次化斜率同构

【典例6】 点 为   上的动点，以原点为心的 的半径等于 . 已知点   到 上动点的最小离为 .
（1） 求椭圆 和 的标准方程；
（2） 过 点作 的两条切线，与 的另一个交点分别为点 ， 在点 处的切线交于点 . 求证：当直线 ， 的斜率均存在时， 为定值 .

分析： （1） ，

（2） 设点 ，则 ， 均满足同一个关于 的二次方程；

设直线 ，用它来齐次化椭圆的方程，同样也可以得到一个关于 的二次方程。上面得到的两个二次方程应该是同一个方程，对比系数可以解得 ，然后利用一下极点极线的知识（先简单证明一下即可，即证明若点 ，则直线 ）便可以得到点 的坐标。本题的定值为 ，详解略。

注： 有关极点极线的详细概念定义、定理、推论等可以参考小π之前推送的文章《771期【圆锥】极点极线10个性质以及在近几年全国卷中的应用》，《888期【圆锥】一文搞懂配极原则》，《极点极线焦准模型》，《924期【拓展】极点极线基础——单比与交比、调和点列、完全四点形》，《圆锥曲线极点极线的一般理论（3定义8定理）》，《1080期 打脸！高考连续考两年的模型还是考啦！》，《1131期 极点极线自极三角形 17分压轴题》

四、利用齐次化推出的10个常见结论

【结论1】 已知直线 交椭圆 于 ， 两点， 为坐标原点，若 ，则该直线的斜率为

【结论2】 已知直线 交双曲线 于 ， 两点， 为坐标原点，若 ，则该直线的斜率为

【结论3】 已知直线 交抛物线 于 ， 两点， 为坐标原点，若 ，则该直线的斜率为（关注微信公众号：Hi数学派）

【结论4】 过椭圆 上一定点 （ 不是椭圆顶点）作两条直线分别交椭圆于 ， 两点，使这两条直线的斜率之和为常数，即   （ 为常数），则

（1） 当 时，直线 恒过一个定点，且定点为

（2） 当 时，直线 的斜率为定值 ．

【结论5】 过椭圆 上一定点 （ 不是椭圆顶点）作两条直线分别交椭圆于 ， 两点，使这两条直线的斜率之积为常数，即   （ 为常数），则

（1） 当 时，直线 恒过一个定点，且定点为 ；

（2） 当 时，直线 的斜率为定值 ．

【结论6】 过双曲线 上一定点 （ 不是双曲线顶点）作两条直线分别交椭圆于 ， 两点，使这两条直线的斜率之和为常数，即   （ 为常数），则（关注微信公众号：Hi数学派）

（1） 当 时，直线 恒过一个定点，且定点为

（2） 当 时，直线 的斜率为定值 ．

【结论7】 过双曲线 上一定点 （ 不是双曲线顶点）作两条直线分别交椭圆于 ， 两点，使这两条直线的斜率之积为常数，即   （ 为常数），则

（1） 当 时，直线 恒过一个定点，且定点为 ；

（2） 当 时，直线 的斜率为定值 ．

【结论8】 若点 是抛物线 上一点，过点 引两条直线分别交椭圆于 ， 两点（关注微信公众号：Hi数学派）

（1） 若 时，则 ；

（2） 若 时，则直线 恒定过点 ；

（3） 若 时，则直线 恒定过点 ．

【结论9】 点 是抛物线的焦点，抛物线外一点 作抛物线的切线 ，，则 ．

【结论10】 点 是椭圆的焦点，过椭圆外一点 作椭圆的切线，，则 ．

五、齐次化在模考中的应用

【江苏宿迁24届高三一模】 已知双曲线 的右顶点为 ，过点 且与 轴垂直的直线交一条渐近线于 ．
（1） 求双曲线 的方程；（关注微信公众号：Hi数学派）
（2） 过点 作直线 与双曲线 相交于 两点，直线 分别交直线 于 两点，求 的取值范围．

解析：

（1） （详解略，可参考标答，群内分享）

（2） 直线 不经过点 （否则 两点不存在），故可设 方程为 ，设 ，