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1264期圆锥曲线不联立系列7——轴点差于非轴点差
该篇是圆锥曲线不联立系列第7篇，之前的推文可以参看链接
《圆锥曲线不联立系列1——拉格朗日恒等式》
《圆锥曲线不联立系列2——柯西不等式》
《圆锥曲线不联立系列3——参数方程与万能代换》
《圆锥曲线不联立系列4——点差法与中点弦》
《圆锥曲线不联立系列5——定比分点与定比点差》
《圆锥曲线不联立系列6——截距点差法》
该篇内容属于小派之前的内容，轴点差与非轴点差是设点技巧，是不联立不韦达的典型方法。纯设点，通过斜率的点差表示，再由一些等量关系（比如“点在某二次曲线上”，“三点共线”，“线之间的斜率等量关系”等）通过一些恒等式（比如分式合比、拉格朗日恒等式等）来配凑得到定点、定值。因此将改篇收录在《圆锥曲线不联立系列》中，熟悉的同学可以略过！
一、基础知识 二、轴点差技巧应用 三、非轴点差技巧 1、轴点差与非轴点差的不同 2、非轴点差的运算技巧 3、非轴点差技巧应用 四、轴点差与非轴点差在高考中的应用
一、基础知识
轴点差与非轴点差技巧可能用到的恒等式
【分式合比】
这里 是任意使新式有意义（分母不为 ）的常数
【拉格朗日恒等式】（关注微信公众号：Hi数学派）设 ，，，， ，，，，
主要应用到二维形式
更多拉格朗日恒等式可以参考小派之前的推文《圆锥曲线不联立系列1——拉格朗日恒等式》
二、轴点差技巧应用
由于轴点差技巧相对比较简单，这里直接结合题目介绍其运用方法
【典例1】（2024年九省联考 T18） 已知抛物线 的焦点为 ，过下的直线 交 于 ， 两点，过 与 垂直的直线交 于 ， 两点，其中 ， 在 轴上方，， 分别为 ， 的中点（关注微信公众号：Hi数学派）.
（1） 证明：直线 过定点；
（2） 设 为直线 与直线 的交点，求 面积的最小值 .
解析：
（1） 如图 1，设 ，，，
利用点差法
同理可得
又 ，
，则 ，所以
所以 过定点
（2） 面积的最小值为 . 详解可以参考小派之前的推文《九省圆锥压轴还能深挖多少东西？》
【典例2】（关注微信公众号：Hi数学派）已知椭圆 （ ） 的左焦点为 ，焦距为 ，且过点
（1） 求椭圆 的标准方程；
（2） 过点 作两条互相垂直的直线 ，若 与 交于 ， 两点， 与 交于 ， 两点，记 的中点为 ， 的中点为 ，试判断直线 是否过定点，若过定点，请求出定点坐标，若不过定点，请说明理由.
解析：
（1）
（2） 设 ，
因为 ，则
根据中点弦的性质有 ，
则 ，
即 ，
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
即
因而 过定点
注： 有上述两题可得到如下定点模型，更多关于两垂直弦模型可以参考小派之前的推文《1056期 两垂直弦模型 • 24结论》
【定点模型】（关注微信公众号：Hi数学派）如图 4，已知椭圆 （ ），点 ，过点 作两条互相垂直的直线 ，若 与 交于 ， 两点， 与 交于 ， 两点，记 的中点为 ， 的中点为 ，试证明：直线 过定点 .
解析： 设 ，
因为 ，则
根据中点弦的性质有 ，
则 ，
即 ，
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
因而 过定点
【典例3】 已知椭圆 （ ）的离心率为 过 右焦点 的直线 与 交于 ， 两点，当直线 与 轴垂直时
（1） 求椭圆 的标准方程（关注微信公众号：Hi数学派）；
（2） 当直线 与 轴不垂直时，在 轴上是否存在一点 （异于点 ），使 轴上任意点到直线 ， 的距离均相等？ 若存在，求 点坐标；若不存在，请说明理由.
解析：
（1）
（2） 由角平分线逆定理可知 轴是 的角平分线
即是否存在一点 满足
因为 三点共线，则
即
另外 在椭圆 上，则
则（关注微信公众号：Hi数学派）
由 、 合比，配出平方还原成一次得
又因为 ，所以有
即存在一点 满足
注： 此题即是等角定理，可以参考小派之前的推文《916期【圆锥】高考中的等角定理》
【椭圆等角定理】（关注微信公众号：Hi数学派）如图 6，过椭圆 （ ）长轴上任一点 ， 的一条弦 端点与对应点 的连线所成的角被焦点所在直线平分，即
三、非轴点差技巧
1、轴点差与非轴点差的不同
顾名思义，轴点差技巧中所求或所用定点在轴上，而非轴点差是对其的拓展；当定点在轴上时，很方便计算，只需点代入曲线、合比分不计算等即可，但当定点不在轴上时，计算起来比较麻烦，需要用到拉格朗日恒等式等。
2、非轴点差的运算技巧
考虑椭圆 （ ）的两点 ，，它们与不在 上的定点 共线，则有
利用合比的性质有
对 式平方后再次利用合比的性质有
其中，上式运算过程中第一个 "" 是对 分子分母平方后利用合比的性质，第二个 "" 是代入（关注微信公众号：Hi数学派）
后再配方
进而对 式开方可得
注意开方时一侧需要添加负号，原因在于若右侧选取正号，即 ，则由合比性质
这要成立就有 ，即定点 在圆锥曲线上，与假设不相符合。
3、非轴点差技巧应用
【典例4】 已知椭圆 （ ）内一定点 ，点 在直线 上运动，直线 交椭圆于点 ，求证：
证明： 设点 ，
由 过定点 ，利用合比的性质有
注： 此题也可以利用调和点列定比点差法来做，具体可以参考小派之前的推文《915期【圆锥】调和点列定比分点3大结论》
调和定比分点结论1：（关注微信公众号：Hi数学派）如图 8，在椭圆或双曲线中 （ ， ），设 为椭圆或双曲线上的两点．若存在 调和分割 ，即满足 ， ，则一定有
四、轴点差与非轴点差在高考中的应用
【典例5】（2022 年全国乙卷）（关注微信公众号：Hi数学派）已知椭圆 的中心为坐标原点，对称轴为 、 轴，且过 ， 两点.
（1） 求 的方程；
（2） 设过点 的直线交 于 两点，过 且平行于 轴的直线与线段 交于点 ，点 满足 ，证明：直线 过定点.
解析：
（1）
（2） 设点 ，，直线 ，
则 ， ，
利用直线 过点 ，容易注意到
其中，最后一个等号是将两端的分子分母中的括号全部展开并代入 ， ，可知两侧分子分母分别恒相等。对上式开平方，注意正负性，容易注意到结合比例的性质有
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
故点 共线，即过定点
