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1265期都是数列变换（T8联考+2008、2024北京卷新定义压轴）
该篇素材选自前天的八省TOP级重点中学2025届高三（T8）12月联考第19题。该题很有难度，整个解答过程很难用数学语言书写，只能用语言描述来回答。关于该题的背景，有老师说该题思想类似于奥数题翻杯子问题，有老师则认为是什么阿贝尔沙堆模型……
这篇暂且不关注该题的背景是什么，这篇就来关注一下问题本身——数列变换类型新定义。这种类型的新定义在2008年北京卷理科数学考过之后，北京地区的模拟卷就出现了很多，而且2024年北京卷新定义压轴又是一道难度更大的数列变换类型的新定义（原题如下），这篇就整理一些有关数列变换的新定义压轴题。
一、2008北京卷新定义压轴 二、2024北京卷新定义压轴 1、原题 2、该题详解论文（文末下载） 三、T8 联考新定义压轴 四、更多数列变换新定义压轴 1、学生版（文末下载） 2、解析版（文末下载）
一、2008北京卷新定义压轴
【2008年北京高考理科T20】（关注微信公众号：Hi数学派）对于每项均是正整数的数列 ，，，，定义变换 ， 将数列 变换成数列 ， ， ，， . 对于每项均是非负整数的数列 ，，，，定义变换 ， 将数列 各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列 ；又定义 . 设 是每项均为正整数的有穷数列，令 （ ，，，）
（1） 如果数列 为 ，，，写出数列 ，；
（2） 对于每项均是正整数的有穷数列 ，证明 ；
（3） 证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列 ，存在正整数 ，当 时， .
解析：
（1） ，，， ，，，
，，，
，，，，
（2） 由题意得
（3） 由 （2） 知，完成 操作后， 不发生变化，而完成 操作后，较大的数据权重越小， 单调不增，即
因为 是正整数，所以经过有限步后，必有
即存在正整数 ，当 时，
二、2024北京卷新定义压轴
1、原题
【2024年北京高考理科T20】（关注微信公众号：Hi数学派）已知集合 ， ， ， ，且 为偶数 . 给定数列 ，，， 和序列 ，，，，其中 （ ，，，），对数列 进行如下变换：将 的第 ，，， 项均加 ，其余项不变，得到的数列记作 ；将 的第 ，，， 项均加 ，其余项不变，得到的数列记作 ，；以此类推，得到数列 ，简记为 .
（1） 给定数列 ，，，，，，， 和序列 ，，，写出 ；
（2） 是否存在序列 ，使得 为 ， ， ， ， ， ， ？若存在，写出一个 ，若不存在，请说明理由；
（3） 若数列 的各项均为正整数，且 为偶数，求证：“存在序列 ，使得 的各项都相等” 的充要条件为 “ ”
答案： （1） ，，，，，，，；（2） 不存在；（3） 详解文末下载
2、该题详解论文（文末下载）
详情文末下载
三、T8 联考新定义压轴
【25届 T8 高三12月联考T19】（关注微信公众号：Hi数学派） 为不小于 的正整数，对整数数列 ，，，，可以做以下三种变换：
① 将 ，，， 中的 减 ， 加 ，其余项不变，称此变换为对 做 变换；
② 取 ，将 ，，， 中的 减 ，， 均加 ，其余项不变，称此变换为对 做 变换；
③ 将 ，，， 中的 减 ， 加 ，其余项不变，称此变换为对 做 变换.
将数列 做一次变换得到 ，将数列 做一次变换得到
例如： 时，对数列 依次做 ， 变换，意义如下：先对 做 变换得到数列 ，再对 做 变换得到数列 .
（1） 时，给定数列 ，求证：可以对 做若干次变换得到数列 ；
（2） 时，求证：对任意整数数列 ，若 ，则可以对 做若干次变换得到数列 ；
（3） 若将变换 ① 中的 改为 ，将变换 ③ 中的 改为 ，在 时，求证：对任意整数数列 ，若 ，且 和 均为偶数，则可以对整数数列 做若干次变换得到数列
解析： 原卷及解析文末下载
