1268期圆锥曲线不联立系列10——斜率双用

该篇是圆锥曲线不联立系列第10篇，之前的推文可以参看链接

《圆锥曲线不联立系列1——拉格朗日恒等式》
《圆锥曲线不联立系列2——柯西不等式》
《圆锥曲线不联立系列3——参数方程与万能代换》
《圆锥曲线不联立系列4——点差法与中点弦》
《圆锥曲线不联立系列5——定比分点与定比点差》
《圆锥曲线不联立系列6——截距点差法》
《圆锥曲线不联立系列7——轴点差于非轴点差》
《圆锥曲线不联立系列8——对偶构造》
《圆锥曲线不联立系列9——对偶构造之假平移》

该篇内容属于小派之前的内容，其中所论述的斜率双用是不联立不韦达的方法技巧。斜率双用是根据题设中的斜率关系，设点再利用中点弦、第三定义等对斜率进行转化，构造出直线的两点式，以达到求定点定值问题。 因此将改篇收录在《圆锥曲线不联立系列》中，熟悉的同学可以略过！

斜率双用技巧在近四年高考中都有应用，这一期就来介绍一下该方法以及此法在近年高考中的应用。

• 一、斜率双用技巧必备知识
• 1、直线方程的两点式
• 2、中点弦与点差法
• 3、圆锥曲线第三定义
• 4、点在曲线上
• 二、斜率双用在高考中的应用
• 1、24年新课标Ⅱ卷圆锥压轴
• 2、23年全国乙卷圆锥压轴
• 3、22年北京卷圆锥压轴
• 4、21年全国甲卷圆锥压轴
• 5、20年全国I卷圆锥压轴
• 6、19年北京卷圆锥压轴
• 7、18年全国I卷圆锥压轴
• 8、17年全国I卷圆锥压轴

一、斜率双用技巧必备知识

1、直线方程的两点式

整理得

2、中点弦与点差法

（1）椭圆中的点差法

设直线 与椭圆 相交于点 两点，其中设点 ，，由于 两点均在椭圆上，代入椭圆的方程可得

得（关注微信公众号：Hi数学派）

则 （其中   为 中点， 为原点）.

（2）椭圆垂径定理

【椭圆垂径定理】 如图 1，已知椭圆   ，不垂直坐标轴直线交椭圆于 ， 两点， 为线段 的中点，直线 和 的斜率分别为 ，，则 .

注： 有关其它二次曲线（圆、双曲线、抛物线）的中点弦可以参考小派之前的推文《1075期【圆锥】源自新高考的隐蔽中点弦》

3、圆锥曲线第三定义

【圆锥第三定义】（关注微信公众号：Hi数学派）如图 2，椭圆 上任意一点 与过原点 为中心的弦 的两端点 、 连线 、 与坐标轴不平行，则直线 、 的斜率之积 为定值 ．

证明： 设 ， ，则 ，所以

由 得

为定值，即

注： 关于圆锥曲线第三定义及其推广可以参考小π之前推送的文章《779期圆锥曲线系统精讲系列2——有心圆锥第三定义16结论与6应用》

4、点在曲线上

另外，点在圆锥曲线上也是一个重要的斜率转化条件，比如点 ， 在椭圆 时，则有（关注微信公众号：Hi数学派）

具体情况根据题设所给的斜率关系而变。

二、斜率双用在高考中的应用

1、24年新课标Ⅱ卷圆锥压轴

该题第（2）问可以利用斜率双用的技巧解决，其它小问可以参考小派之前的推文《2024新课标Ⅱ卷详细解析》

【2024年新课标Ⅱ卷T19】（关注微信公众号：Hi数学派）已知双曲线 ，点 在 上， 为常数， ，按照如下公式依次构造点 ： 过点 作斜率为 的直线与 的左支点交于点 ，令 为 关于 轴的对称点，记 的坐标为
（1） 若 ，求 ；
（2） 证明：数列 是公比为 的等比数列；
（3） 设 为 的面积，证明：对于任意正整数 ，

解析：  （2） 设点 ， ，

因为点 ， 均在双曲线 上

两式相减得

化简得（关注微信公众号：Hi数学派）

得

化简得

即

所以数列 是公比为 的等比数列 .

2、23年全国乙卷圆锥压轴

该题背景是调和点列中点模型，可以参考小派之前的推文 《1080期【圆锥】打脸！高考连续考两年的模型还是考啦！》，另外该题不联立不韦达的其它解法可以参考小派之前的推文《1095期【圆锥】借高考题讲明不联立不韦达5法》

【2023 年全国乙卷T20】（关注微信公众号：Hi数学派）已知椭圆 的离心率为 ，点 在 上．
（1） 求 的方程．
（2） 过点 的直线交 于点 两点，直线 ， 与 轴的交点分别为 ，证明：线段 的中点为定点．

解析：

（1） （详解群内分享）

（2） 设点 ，，

由直线

令 得

同理

所以

设 （定值）

由圆锥曲线第三定义有

则

即（关注微信公众号：Hi数学派）

作差得

对照过定点 的直线的两点式

可知

所以 中点为定点

注1： 由于题目是极点极线背景下（调和点列中点模型）的定点问题，隐藏斜率和为定值，只需设斜率和为定值 ，利用斜率双用代换以 后对比直线两点式可知 ，进而算出 中点为定点.

3、22年北京卷圆锥压轴

该题和23 年全国乙卷圆锥压轴的背景一样，都是调和点列中点模型，可以参考小派之前的推文 《1080期【圆锥】打脸！高考连续考两年的模型还是考啦！》

【2022年北京卷 T19】（关注微信公众号：Hi数学派）已知椭圆 的一个定点为 ，焦距为
（1） 求椭圆 的方程；
（2） 过点 作斜率为 的直线与椭圆 交于不同的两点 ，直线 分别与 轴交于点 . 当 时，求 的值.

解析：

（1） （详解群内分享）

（2） 设点 ，，

由直线

令 得

同理  

所以

设

由圆锥曲线第三定义有

则（关注微信公众号：Hi数学派）

即

作差得

对照过定点 的直线的两点式

可知

所以 ，即 的中点是

又 ，则 ，

又 ，则直线 ，直线

因此分别联立椭圆即可得  ，

4、21年全国甲卷圆锥压轴

【2021 全国甲卷文理 T20】（关注微信公众号：Hi数学派）抛物线 的顶点为坐标原点 ，焦点在 轴上，直线 交 于 ， 两点，且 ，已知点 ，且 与 相切。
（1） 求 ， 的方程；
（2） 设 是 上的三个点，直线 ， 均与 相切，判断直线 与 的位置关系，并说明理由：

解析：

（1） ， （详解群内分享）

（2） 同学们可以尝试一下，斜率双用法详解群内分享

5、20年全国I卷圆锥压轴

该题蝴蝶定理解法可以参考小派之前的推文1048期【圆锥】借此题再详细讲一下蝴蝶定理

【2020 全国 I 文理 T20】 已知 分别为椭圆 的左、右顶点， 为 的上顶点， . 为直线 上的动点， 与 的另一交点为 ， 与 的另 一交点为 .
（1） 求 的方程；
（2） 证明：直线 过定点.

解析：

（1） （详解群内分享）

（2） ，，设

由圆锥曲线第三定义有

（关注微信公众号：Hi数学派）两式相除可得

设点 ，，则有

即

两式作差得

对照过点 的直线两点式

可知过定点

6、19年北京卷圆锥压轴

【2019年北京卷 T19】（关注微信公众号：Hi数学派）已知椭圆 的右焦点为 ，且经过点 .
（1） 求椭圆 的方程；
（2） 设 为原点，直线 与椭圆 交于两个不同点 ，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，若 ，求证：直线 经过定点.

解析：

（1） （详解群内分享）

（2） （同学们可以尝试一下用斜率双用法解答，详解群内分享）

7、18年全国I卷圆锥压轴

2018年全国I卷文理科圆锥曲线背景都是等角定理，一般解法以及更多有关等角定理的内容可以参考小派之前的推文《916期【圆锥】高考中的等角定理》

【2018 全国I卷理科T19】  设椭圆 的右焦点为 ，过的直线 与交于 ， 两点，点 的坐标为 ．
（1） 当 与 轴垂直时，求直线 的方程；
（2） 设 为坐标原点，证明：

解析：

（1） 直线 的方程 ， （详解群内分享）

（2） （同学们可以尝试一下用斜率双用法解答，详解群内分享）

【2018 全国I卷文科T20】  设抛物线 ，点 ，，过点 的直线 与 交于 ， 两点．
（1） 当 与 轴垂直时，求直线 的方程；
（2） 证明：

解析：

（1） 直线 的方程为 （详解群内分享）

（2） （同学们可以尝试一下用斜率双用法解答，详解群内分享）

8、17年全国I卷圆锥压轴

【2017 全国I卷理科T20】（关注微信公众号：Hi数学派）已知椭圆 ，四点 ，，， 中恰有三点在椭圆上.
（1） 求椭圆 的方程；
（2） 设直线 不经过 点且与 相交于 两点，若直线 与直线 的斜率之和为 ，证明：过定点.

解析：

（1） （详解群内分享）

（2） 设点 ，，由题得

因为点 ，在椭圆上，所以

代入 式有

两式相减得

对照过点 的直线两点式

所以直线 过定点 .