电子版下载点击【公众号资料下载】
也可以点击文末原文链接下载 （建议将微信字体设置到最小后阅读） （建议关闭深色模式后阅读）
1269期圆锥曲线不联立系列11——定比插参
该篇是圆锥曲线不联立系列第11篇，之前的推文可以参看链接
《圆锥曲线不联立系列1——拉格朗日恒等式》
《圆锥曲线不联立系列2——柯西不等式》
《圆锥曲线不联立系列3——参数方程与万能代换》
《圆锥曲线不联立系列4——点差法与中点弦》
《圆锥曲线不联立系列5——定比分点与定比点差》
《圆锥曲线不联立系列6——截距点差法》
《圆锥曲线不联立系列7——轴点差于非轴点差》
《圆锥曲线不联立系列8——对偶构造》
《圆锥曲线不联立系列9——对偶构造之假平移》
《圆锥曲线不联立系列10——斜率双用》
对于《圆锥曲线不联立系列8——对偶构造》中非轴点弦的情况，除了对偶构造假平移技巧之外，还有一种处理思想，就是定比插参，即引入一个参数等于齐次分式，然后借助此参数将分式化为整式等式，类似于导数中的比值代换（有关比值代换可参考小派之前的推文《1220期 老生常谈的差值、比值代换 系统谈6点》）。
这一篇讲一下这种思想下的计算方法——定比插参。
一、两种设参方式对比与联系 1、两种设参方式对比 2、两种设参方式联系 二、定比插参方式1 1、一般公式 2、 轴点弦下的特殊情况 3、 轴点弦下的特殊情况 三、定比插参方式2 2、一般公式 2、 轴点弦下的特殊情况 3、 轴点弦下的特殊情况 四、定比插参在模考中的应用 五、定比插参在高考中的应用
一、两种设参方式对比与联系
如图 1，过定点 的直线（非轴点弦）和椭圆 （ ）相交于 ， 两点
由 三点共线可得（关注微信公众号：Hi数学派）
1、两种设参方式对比
对于上式的分式等式可以引入不同的参数，
使其分别转化成两个整式等式
对于 式，有
对于 式，有（关注微信公众号：Hi数学派）
2、两种设参方式联系
注1： 可以发现，两种设参方式都实现了坐标互化，即实现了用点 的坐标 表示出点 的坐标 ，同样将上面的分式先去倒数再设参，可以实现用点 的坐标 表示出点 的坐标
注2： 对于第二种设参方式，可以看出
此即，定比分点的坐标公式，几何意义代表 。
注3：（关注微信公众号：Hi数学派）两种设参方式其实可以统一写成一种，只不过最后的坐标互化选取的方式不同，对于 式，如果参数也设成 ，即
则
只不过把参数设成 ，可以避免整式等式中出现过多的负号，另外其在几何意义上是同学们熟悉的在 时的定比分点公式。
下面用两种设参方式推导不联立解圆锥曲线用到的公式，（以椭圆为例，双曲线只是存在符号上的差异）
二、定比插参方式1
1、一般公式
对于第一种设参方式，有
将其代入椭圆 有
对上式平方展开，并代入 得
即（关注微信公众号：Hi数学派）
等式两端同时除以 得
即
（关注微信公众号：Hi数学派）移项得
则
因此，该设参方式下的定比插参用到的公式，即为
该三个公式中，前两个可以实现坐标互换，第二个代表点代入椭圆。这三个方程中共有三个未知量，理论上可解，即使用这三个公式可以不用再联立圆锥曲线解决问题。
2、 轴点弦下的特殊情况
当该直线为 轴点弦，即点 ，则上面三个方程变为
这时，由第三式可以解出 ，再将 代入第二式可解得 ，（关注微信公众号：Hi数学派）即
此即轴点弦对偶构造下的坐标互换公式，其中将 代替，可以参考小派之前的推文《圆锥曲线不联立系列8——对偶构造》。
3、 轴点弦下的特殊情况
当该直线为 轴点弦，即点 ，则上面三个方程变为
这时，由第三式可以解出 ，再将 代入第二式可解得 ，即
此即轴点弦对偶构造下的坐标互换公式，其中将 代替，可以参考小派之前的推文《圆锥曲线不联立系列8——对偶构造》。
三、定比插参方式2
2、一般公式
对于第二种设参方式，有
将其代入椭圆 有
即（关注微信公众号：Hi数学派）
对上式平方展开，并代入 得
即
等式两端同时除以 得
即
移项得
（关注微信公众号：Hi数学派）则
因此，该设参方式下的定比插参用到的公式，即为
该三个公式中，前两个可以实现坐标互换，第二个代表点代入椭圆。这三个方程中共有三个未知量，理论上可解，即使用这三个公式可以不用再联立圆锥曲线解决问题。
2、 轴点弦下的特殊情况
当该直线为 轴点弦，即点 ，则上面三个方程变为
（关注微信公众号：Hi数学派）这时，由第三式可以解出 ，再将 代入第二式可解得 ，即
此即轴点弦对偶构造下的坐标互换公式，其中将 代替，这与定比插参方式1存在符号上的差别。
3、 轴点弦下的特殊情况
当该直线为 轴点弦，即点 ，则上面三个方程变为
这时，由第三式可以解出 ，再将 代入第二式可解得 ，即
此即轴点弦对偶构造下的坐标互换公式，其中将 代替，这与定比插参方式1存在符号上的差别。
四、定比插参在模考中的应用
【2023 届武汉四调T21】（关注微信公众号：Hi数学派）过点 的动直线 与双曲线 （，） 交于 两点，当 与 轴平行时， ，当 与 轴平行时， .
（1） 求双曲线 的标准方程；
（2） 点 是直线 上一定点，设直线 ， 的斜率分别为 ，，若 为定值，求点 的坐标.
解析：
（1） .
（2） 设 ，，由题意得
所以
将其代入双曲线 有
对上式平方展开，并代入 得
设 ，所以（关注微信公众号：Hi数学派）
当 时， 为定值.
五、定比插参在高考中的应用
【2023 年全国乙卷T20】（关注微信公众号：Hi数学派）已知椭圆 的离心率为 ，点 在 上．
（1） 求 的方程．
（2） 过点 的直线交 于点 两点，直线 ， 与 轴的交点分别为 ，证明：线段 的中点为定点．
解析：
（1） .
（2） 设点 ，，，，
由 三点共线得
代入椭圆得
由 三点共线得
由 三点共线得
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
所以 中点为 定点 .
