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1284期这两种含 (-1)ⁿ 数列可以裂项！
对于含 的数列一般往往会当作奇偶数列求和问题处理，得出的求和结果也是分奇偶的两项表达式，但是有两种含 的数列模型可以通过裂项求和而得到一个的统一的表达式，可以减少讨论和计算.
一、这两种含 数列可以裂项 二、这两种模型在模考中的应用 三、含负数幂型裂项放缩 四、含根式型裂项放缩 五、含指数型裂项放缩 1、指数型裂项5类型 2、指数型数列放缩 六、含阶乘型裂项 七、含组合数、二项式定理型裂项放缩 八、等差等比型裂项 九、对数型裂项 十、糖水不等式 十一、伯努利不等式 十二、三角函数型裂项 十三、反三角函数型裂项
一、这两种含 数列可以裂项
【模型1】 设 为等差数列，则
进而，
【模型2】 设 为等差数列，公差为 ，则（关注微信公众号：Hi数学派）
二、这两种模型在模考中的应用
【南京 25 届高三期初调研T17】 已知数列 ，， ， （ ），且 为等比数列.
（1） 求 的值；（关注微信公众号：Hi数学派）
（2） 记数列 的前 项和为 . 若 （ ），求 的值.
解析：
（1）
为等比数列
当 时，
故 为等比数列
所以 符合题意．
（2） 法一 ，分奇偶讨论：
当 为偶数时，
当 为奇数时（关注微信公众号：Hi数学派）
综上，
，又
，所以 为偶数
,
整理得 ，解得 或 （舍）
所以
法二 ，裂项：
因为
记 ，则
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
因此，可以检验当 为奇偶数时和上面 分奇偶讨论 的结果相同，即
接下来的过程就和 分奇偶讨论 的相同了。
【24届杭州一模T21】 设数列 的首项 ，前 项和 满足： （， ， ）
（1） 求证：数列 是等比数列；
（2） 设数列 的公比为 ，数列 满足： ， （， ） ， 求
解析：
（1） 略
（2）
法一 ，分奇偶求和：
记所求和为 ，
当 为偶数时，
当 为奇数时（关注微信公众号：Hi数学派）
综上所述，
法二 ，裂项：
记 ，数列 的前 项和为 ，
则
可由模型 （2） 进行裂项，即
则（关注微信公众号：Hi数学派）
可以检验得
和 法一 ，分奇偶求和 结果相同 .
注： 更多裂项求和模型可以参考小派之前的推文《1262期 一文搞定数列裂项求和（67技巧）》，下面再列写一遍，熟悉的同学略过。
三、含负数幂型裂项放缩
（1）
（2）
（3）
（4）
注： 凡是分母上是某个等差数列相邻或相隔固定项相乘的形式都可以进行裂项 . 在此基础上，完全平方形式的分母可以通过加减固定数（平方数、公差的倍数等）以放大或缩小，达到放缩的效果（关注微信公众号：Hi数学派）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
四、含根式型裂项放缩
（10） ，
（11）
综合 （10）（11），则（关注微信公众号：Hi数学派）
（12）
（13）
（14）
（15） ，
（16） （关注微信公众号：Hi数学派）
（17）
（18）
（19）
或（关注微信公众号：Hi数学派）
（20）
五、含指数型裂项放缩
1、指数型裂项5类型
【指数型裂项类型1】 形如 ，，可进行如下裂项（关注微信公众号：Hi数学派）
例如，
（21）
（22）
（23）
（24）
（25）
【指数型裂项类型2】 设 为等差数列，公差为 ，则形如 ，，可进行如下裂项
例如，
（26）
（27）
（28）
【指数型裂项类型3】 形如 ，，可进行如下裂项
例如，（关注微信公众号：Hi数学派）
（29）
【指数型裂项类型4】 设 为等差数列，公差为 ，则 形如 ，，可进行如下裂项
例如，
（30）
【指数型裂项类型5】 设 为等差数列，则 形如 ，可进行如下裂项（关注微信公众号：Hi数学派）
例如，
（31）
（32）
（33）
注： 类型5 也可以表述为对于形如 的式子，当
时， 可裂项 .
2、指数型数列放缩
（34）
注： 因为
（35）
（36） 当 时（关注微信公众号：Hi数学派）
（37） 当 时，
（38） 当 时，
六、含阶乘型裂项
（39）
（40）
（41）
七、含组合数、二项式定理型裂项放缩
（42）
（43）
（44）
（45）
注： 事实上，当 ， 存在极限，极限值为自然数 .
（46） 设 是二项式 展开的第 项，则（关注微信公众号：Hi数学派）
（47）
注： 因为
所以
（48）
注： 因为
（49）
注： 因为（关注微信公众号：Hi数学派）
八、等差等比型裂项
（50）等差乘等比 若 ，（ 且 ， 为常数），则
其中，
九、对数型裂项
（51）
其中，， ， 为整数 .
（52） 设 是等差数列， 为公差，则 ，其中，， 为整数 .
十、糖水不等式
（53）
① 若 ，则 ；
② 若 ，则 ；
十一、伯努利不等式
（54） 设 ，则当 时，有 .
由伯努利不等式可知，，其中 且为整数 .
十二、三角函数型裂项
有关三角函数型数列裂项具体应用可以参考小派之前的推文《1195期【数列】极光杯 • 三角函数数列裂项类型+1》
（55） 设 为等差数列，公差为 ，则
例如（关注微信公众号：Hi数学派）
注： 此裂项利用的是正弦差角公式，
（56）
注： 此裂项利用的是正弦和角公式，由
得
所以
（57）
注： 此裂项利用的是余弦和角公式，由
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
故
（58） 设 为等差数列，公差为 ，则（关注微信公众号：Hi数学派）
例如，
注： 此裂项利用的是正切差角公式，
（59）
注： 此裂项利用的是积化和差公式，
（60）
注： 此裂项利用的是积化和差公式，
（61） （关注微信公众号：Hi数学派）
注： 此裂项利用的是余弦的二倍角公式，
（62）
注： 此裂项利用的是余切的二倍角公式，
（63）（关注微信公众号：Hi数学派）
注： 此裂项利用的是正弦三倍角公式，
十三、反三角函数型裂项
【反三角函数型裂项类型1】 设 为等差数列，公差为 ，则
例如，
（64）
注： 此裂项利用的是余切的差角公式，
【反三角函数型裂项类型2】
（65） （关注微信公众号：Hi数学派）
注： 此裂项利用的是正切的差角公式，
