电子版下载点击【公众号资料下载】
也可以点击文末原文链接下载 （建议将微信字体设置到最小后阅读） （建议关闭深色模式后阅读）
1283期模考中终于见到圆曲齐次化构造三次方程了！
该篇素材选自河北“五个一”名校联盟25届高三一轮收官验收联考第19题（原题如下）。该题是用的齐次化的拓展形式来解决的！这在以往模考中很少见，因为此法涉及到高次方程韦达定理。但该题是在19题，上点难度也是应当的，另外三次方程根与系数的关系在人教 版数学必修第二册 拓展阅读中给出过。
该篇借此题再来详细说一下如何利用齐次化的拓展形式构造高次方程解题，有关齐次化的基础可以参看小派之前的推文《圆锥曲线不联立系列14讲》里的齐次化内容。
一、这道齐次化构造三次方程模考题 1、多交点齐次化 2、参考解析 二、多交点齐次化与传统齐次化对比 三、此题本质还是双曲线内接三角形外接圆结论 1、双曲线 2、椭圆 3、抛物线 四、教材中的高次韦达定理（代数基本定理）
一、这道齐次化构造三次方程模考题
【河北“五个一”名校联盟25届高三一轮收官考T19】（关注微信公众号：Hi数学派）已知双曲线 （ ， ）的焦点到渐近线的距离为 ，右顶点到点 的距离是 . 动圆 （点 为圆心）与 交于四个不同的点 ，，，，且直线 ， 的斜率分别为 ， .
（1） 求 的方程.
（2） 设直线 .
（i） 判断点 是否在双曲线 上，并说明理由.
（ii） 若 ，求直线 的一般式方程.
（iii） 试问 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
解析： （iii）
1、多交点齐次化
如图 1，设点 ， 半径为
采用假平移齐次化，拆出来 ， 以便于构造斜率
先对双曲线 方程做代数变形
对圆 的方程做代数变形（关注微信公众号：Hi数学派）
下面需要构造齐次式，因此将上面两式相乘，则等号两边就都变成了关于 ， 的三次齐次式（注意：交叉相乘，即第一个等式左侧乘以第二个等式右侧，第一个等式右侧乘以第二个等式左侧），得
将上式右侧移项至左侧，再同时除以 ，得到关于 的三次方程
其中
此方程的三个解便是 ，，
由三次方程的韦达定理
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
所以 为定值，且该定值为
2、参考解析
（1） 设 的一个焦点为 ， 的渐近线方程为 ，即 ，点 到渐近线的距离
右顶点 到点 的距离为
解得 （舍去） 或 ，所以 的方程为
（2）
（i） 点 不在双曲线 上.
理由如下：设 ， .
由 得
则（关注微信公众号：Hi数学派）
即
所以点 不在双曲线 上.
（ii） 由韦达定理得
则
则 的中点 的坐标为
依题意可得 ，则
（关注微信公众号：Hi数学派）整理得
当 时，
解得
此时 ， 满足
所以当 时，直线 的一般式方程为
（iii） 因为 ，代入式 得
因为直线 和 也过点 ，所以同理可得
即 都是关于 的三次方程
的三个不同的实根.
又方程可化为（关注微信公众号：Hi数学派）
对比常数项可得
即
所以 为定值，且该定值为 .
注： 最后可以直接利用三次韦达定理直接得出
二、多交点齐次化与传统齐次化对比
同学们平时在遇到直线与圆锥曲线有两个交点的情形，如图 2，当还存在第三个点（最简单的情况是原点）与这两个点连线的斜率存在等式关系（一般是能转化成关于斜率和、积的等式），这时便可构造关于斜率的二次方程来解题，这便是一般形式的齐次化！（关注微信公众号：Hi数学派）
当上述情形不是直线，而是其他曲线（比如圆、椭圆、双曲线等二次曲线），如图 3，此时该曲线与圆锥曲线可能存在多个交点（大于2个），若还存在另外一个不同点与这多个交点连线的斜率存在等式关系，这时构造的就不在是二次方程了，而是高次方程（有几个交点便是几次方程），利用高次韦达定理来解决。这就是齐次化的拓展形式，在小派之前的推文中涉及过《圆锥曲线不联立系列14——齐次化6点》
三、此题本质还是双曲线内接三角形外接圆结论
此题本质还是拿双曲线内接三角形外接圆结论截取一部分来考的，这部分在小派之前的推文中讲过，可以参看《1275期 T8联考圆锥曲线内接三角形外接圆拓展》
1、双曲线
【结论1】（关注微信公众号：Hi数学派）点 在双曲线 （ ， ） 上，设 的外接圆的圆心为点 ，若 三边斜率存在，则
证法1，中点弦点差法： 如图 4，设 ，， 的中点分别为点 ，，，外接圆圆心为点
由点差法知
由外接圆垂径定理知
式 可得
整理得 （关注微信公众号：Hi数学派）
同理有
式 得
又
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
所以
证法2，齐次化拓展形式： 如图 5，设点 ， ， 半径为
设 的外接圆与双曲线 的第四个交点为 ，由四点共圆可知
因此只需证
采用假平移齐次化，拆出来 ， 以便于构造斜率
先对双曲线 方程做代数变形
对圆 的方程做代数变形（关注微信公众号：Hi数学派）
下面需要构造齐次式，因此将上面两式相乘，则等号两边就都变成了关于 ， 的三次齐次式（注意：交叉相乘，即第一个等式左侧乘以第二个等式右侧，第一个等式右侧乘以第二个等式左侧），得
将上式右侧移项至左侧，再同时除以 ，得到关于 的三次方程
其中
此方程的三个解便是 ，，
由三次方程的韦达定理
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
所以
2、椭圆
【结论2】（关注微信公众号：Hi数学派）点 在椭圆 （ ） 上，设 的外接圆的圆心为点 ，若 三边斜率存在，则
证法1，中点弦点差法： 如图 6，设 ，， 的中点分别为点 ，，，外接圆圆心为点
由点差法知
由外接圆垂径定理知
式 可得
整理得
（关注微信公众号：Hi数学派）同理有
式 得
又
所以
（关注微信公众号：Hi数学派）所以
证法2，齐次化拓展形式： 如图 7，设点 ， ， 半径为
设 的外接圆与椭圆 的第四个交点为 ，由四点共圆可知
因此只需证
采用假平移齐次化，拆出来 ， 以便于构造斜率
先对椭圆 方程做代数变形
对圆 的方程做代数变形（关注微信公众号：Hi数学派）
下面需要构造齐次式，因此将上面两式相乘，则等号两边就都变成了关于 ， 的三次齐次式（注意：交叉相乘，即第一个等式左侧乘以第二个等式右侧，第一个等式右侧乘以第二个等式左侧），得
将上式右侧移项至左侧，再同时除以 ，得到关于 的三次方程
（关注微信公众号：Hi数学派）其中
此方程的三个解便是 ，，
由三次方程的韦达定理
所以
所以
3、抛物线
【结论3】（关注微信公众号：Hi数学派）点 在抛物线 上，设 的外接圆的圆心为点 ，则
证明： （感兴趣的同学可以仿照上面的中点弦和点差法，齐次化拓展法尝试一下）
四、教材中的高次韦达定理（代数基本定理）
该题涉及的高次韦达定理（代数基本定理）在人教 版数学必修第二册 ，如下图。（关注微信公众号：Hi数学派）
【高次韦达定理】（关注微信公众号：Hi数学派）设一元 次方程
的根为 ，则
