1288期南京盐城一模18，别上来就求导，用极点效应！

该篇素材选自今天刚考的南京、盐城一模第18题。该题非常简单，但是个不常考的技巧（原题如下），但如果一上来就求导讨论的话，不一定能解出来，如果能看出来 成立，用极点效应就可以很容易做出来！

听同学反馈说该题做的不是很好，这也能理解，因为在如今模考充斥着“新定义”压轴的当下，传统导数压轴很容易被同学们忽视！但是今年新高考课标Ⅰ卷仍将导数作为次压轴放在了18题，而且还是试卷结构改变前常考的套路，可参考小派之前的推文《1079期【导数】今年两套全国卷导数 • 端点效应依旧……》。因此对于传统导数压轴套路技巧，同学们仍需熟悉和掌握。

• 一、这道极点效应导数压轴

• 二、何谓极点效应？

• 三、极点效应的理论依据

• 四、极值点的必要条件与三大充分条件

• 五、高考中的给定极值点求参问题

• 六、模考中的给定极值点求参问题

一、这道极点效应导数压轴

【南京盐城25届高三一模T18】（关注微信公众号：Hi数学派）设函数 （ ， ， ）.
（1） 当 时，求 的最小值；
（2） 讨论函数 的图象是否有对称中心. 若有，请求出；若无，请说明理由；
（3） 当 时， ， 都有 ，求实数 的取值集合.

解析：

（1） 当 时，

当且 ，即 时，取到等号

所以 的最小值为

（2）

若 有变号零点，则

① 当 时， 有对称中心

， ，解得

的对称中心为

② 当 时， 无对称中心.

（3）（关注微信公众号：Hi数学派）由题意，当 时，

令

易知

即对 ， 都有

为 的一个最值点

又 ，

也为 的一个极大值点

解得

为严谨，下面再证一下充分性

当 时， ， 都有

成立（关注微信公众号：Hi数学派）

注1： 这可由放缩不等式 得到，有关放缩不等式可以参考小派之前的推文《导数放缩变换技巧》，《导数找点技巧中常用的36个放缩不等式》

注2： 第（3）问用的其实就是一个同学们理所当然应该知道的技巧，就像理所当然地应该知道当让求解开口向上的含参二次函数小于零时，代入区间两端点即可得到参数范围一样，如图 1。这个技巧有个类似“端点效应”的名字，就是“极点效应”。

二、何谓极点效应？

如果定义在区间 上的函数 在某一点 处的函数值恰好为零，则 恒成立的一个必要条件为 在 处的导数值 如图 2 所示

因为如果 （或 ），那么函数 会在 左侧的一个小区间内先递增（或右侧一个小区间内先递减），会出现如图 3、4 的两种情况，而这两种情况都不能保证函数值恒非负。（关注微信公众号：Hi数学派）

三、极点效应的理论依据

极点效应其实有理论依据的，在高等数学中，这其实就是费马定理，

费马定理： 函数 在点 的某领域 内有定义，且 存在，若此领域内恒有 （或 ），则  .

注： 有关邻域的概念可以参看下面第四部分

费马定理，有的叫费马引理，它是描述连续可导函数极值点的一个重要定理（连续但存在不可导点的函数，比如 ，0是极值点，但不适用）。有关连续函数，还有三大定理，这些定理同学们都可以直观理解，这里拓展一下

连续函数三大定理包括最值定理、介值定理、零点存在性定理，其中零点存在性定理是高中的重要知识点之一，不再过多介绍。下面简单介绍一下最值定理、介值定理。

最值定理：（关注微信公众号：Hi数学派）设 是区间 连续函数，则 必然在区间 上存在最大值 和最小值 .

介值定理： 设 是区间 连续函数，且存在 （或 ），则至少存在一点 ，使得 .

四、极值点的必要条件与三大充分条件

在高中数学中，关于极值点的定义不是很清晰，这是因为严格的极值的定义需要用到高等数学领域中极限等概念。众所周知，可导函数导数值为零仅仅是极值点的一个必要而非充分条件．为了避开极限等概念，高中数学判定极值点往往是先判断出函数在整个区间的单调性，再来确定极值．而当函数比较复杂或者含有参数时，这种方法就很烦琐．下面给出高等数学中的极值点三大充分条件，由于其证明需要用到高等数学知识，因而一般学生不必掌握，但对于学有余力的学生，可以尝试理解并记住结论加以应用．

【极值点的必要条件】 已知函数 在 处可导，则 是函数 极值点的必要条件是   .

注： 若 是函数 极值点，则一定有 ；但是 时， 并不一定是函数 极值点，例如 ，，但 并不一定是 极值点，如下图 5

【极值点第一充分条件】（关注微信公众号：Hi数学派）已知函数 在 处连续，且在 某去心邻域 内可导，

（1） 若 时， ，而若 时，  ，则 在 处取得极小值；

（2） 若 时， ，而若 时，  ，则 在 处取得极大值；

注： 若 在 和 内不变号，则点不是极值点 ；另外有关邻域的概念属于高等数学的知识，但也很简单，可按如下图 6，7 理解，

【极值点第二充分条件】 已知函数 在 处二阶可导，且 ，

（1） 若 ，则 在 处取得极小值；（关注微信公众号：Hi数学派）

（2） 若 ，则 在 处取得极大值 .

【极值点第三充分条件】（关注微信公众号：Hi数学派）已知函数 在 处 阶可导，且 ，

（1） 当 为偶数且 ，则 在 处取得极小值；

（2） 当 为偶数且 ，则 在 处取得极大值 .

注： 若 为奇数， 不是函数 的极值点；另外极值点第三充分条件的另外一种表述如下

【极值点第三充分条件】 已知函数 在 处各阶导数都存在且连续，则 是函数的极大（小）值点的一个充分条件为前 阶导数等于 ，第 阶导数小（大）于 ；

五、高考中的给定极值点求参问题

【2023 年新高考Ⅱ卷 T22】
（1）（关注微信公众号：Hi数学派）证明：当 时， ；
（2） 已知函数 ，若 是 的极大值点，求 的取值范围 ．

解析
（1） 作差构造函数即可证，三者直观图示如下

（2） 利用极值点第二充分条件

,

又因为 是 的极大值点，则由极值点第二充分条件可知，令 即可

，得 或

【2018 年课标Ⅲ卷理 T21】（关注微信公众号：Hi数学派）已知函数
（1） 若 ，证明：当 时， ，当 时， ；
（2） 若 是 的极大值点，求 ．

解析
（1） 当 时，

函数 的定义域为 ，此时

记

则

所以函数 在 上单调递增，而

所以当 时， ，此时

当 时，，此时

（2） 利用极值点第三充分条件

， ,

,

又因为 是 的极大值点，则由极值点第三充分条件可知，令 且 即可（关注微信公众号：Hi数学派）

令 得

此时

则

此时

因此   时， 是 的极大值点 .

六、模考中的给定极值点求参问题

【广东湛江24年高二下期末T19】 已知函数 ，
（1） 若曲线 在 处的切线为 轴，求 的值；
（2） 在 （1） 的条件下，判断函数 的单调性；
（3） ，若 是 的极大值点，求 的取值范围（关注微信公众号：Hi数学派）.

解析： （1） （2） 略

（3） 传统分类讨论法： 由题可知

令 ，则

当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增

又当 时， 恒成立，且

当 时，，即 在 上有且只有一个零点，设为

当 ，即 ，解得

此时若 ，解得 ， 在 上单调递减

若 ，解得 或 ， 在 ， 上单调递增

此时 在 处取极小值，不符合题意，舍去；

当 ，即 ，解得 ，

此时若 ，解得 ， 在 上单调递减

若 ，解得 或 ， 在 ， 上单调递增

此时 在 处取极大值，符合 是 的极大值点（关注微信公众号：Hi数学派）

当 时，即 ，解得 ，

此时 恒成立，无极值点

综上所述： 的取值范围为 .

极值点第二充分条件：

又因为 是 的极大值点，则由极值点第二充分条件可知，令 即可

，得