1279期天津导数探究系列3——刘维尔定理

2017年天津卷导数压轴背景是刘维尔定理！另外，在如今模考简单直接地引入高等知识“套壳”新定义横飞的当下，也不乏以刘维尔定理为素材的“套壳”新定义，比如河南省许昌市高级中学2024届高三下学期三模第19题。该篇摘自小派之前的推文，熟悉的同学略过！

• 一、系列前言
• 二、17年天津卷导数刘维尔定理背景
• 三、什么是刘维尔定理？
• 四、以刘维尔定理为背景的“套壳”新定义

一、系列前言

不可否认，天津导数一直都是特立独行，极具创意，而且很多考题都是在当年之前不曾出现过的，比如现在同学们已经作烦了的极值点偏移问题都是2010年天津卷第一次命制的，之后此题型经11年辽宁卷、13年湖南卷模仿后，在16年被全国卷I借鉴，自此成为热点题型，风靡各地模考卷（高考历史上含极值点的偏移问题出现过四次，感兴趣的可以看看《极值点偏移系列10讲》）。再比如

• 2015年：零点差与切割线放缩
• 2016年：切比雪夫最佳逼近理论
• 2017年：刘维尔定理
• 2018年：函数与反函数
• 2019年：拉格朗日中值
• 2020年：函数凹凸性与Hardamard不等式
• 2022年：柯西不等式
• 2023年：Stirling（斯特林）公式
• 2024年：Hölder连续（李普希兹条件）
• ……

（关注微信公众号：Hi数学派）另外，最近也有传言试卷结构会再次改变，尽管已经辟谣了，但毋庸置疑的是如今新高考非常注重出新，比如新 卷的新定义题，其风格非常类似于北京卷的数列新定义，导致在高考后的众多模考卷新定义压轴都在向北京卷的新定义靠拢与模仿！可是对于作为传统压轴的“钉子户”导数来说，谁也预测不了其会不会也会出新，风格偏向于天津导数！因此研究天津导数风格还是有必要的！小派在之前的推文中也零零散散的讲过几道题，并没有成系统的讲！因此，小派开一个新系列来和同学们一起学习和研究天津卷的导数压轴。

二、17年天津卷导数刘维尔定理背景

【2017年天津卷】（关注微信公众号：Hi数学派）设 ，定义在 上的函数 在区间 内有一个零点 ， 为 的导函数.
（1） 求 的单调区间；
（2） 设 ，函数 ，求证： ；
（3） 求证：存在大于 的常数 ，使得对于任意的正整数 ，且 满足

解析：

（1） 的单调递增区间是 ，，单调递减区间是

（2）证明： 由 ，得

令函数 ，则 .

由 （1） 知，当 时，，故当 时，， 单调递减；

当 时，， 单调递增.

因此，当 时， ，可得 ，即 .

令函数 ，则

由 （1） 知 在 上单调递增，故当 时， ， 单调递增；

当 时，， 单调递减.

因此，当 时， ，可得 ，即 .

所以，.

（3） 证明：对于任意的正整数 ，且 ，令 ，函数 .（关注微信公众号：Hi数学派）

由 （2） 知，当 时， 在区间 内有零点；

当 时， 在区间 内有零点.

所以 在 内至少有一个零点，不妨设为 ，则

由 （1） 知 在 上单调递增，故 ，于是

因为当 时，，故 在 上单调递增，所以 在区间 上除 外没有其他的零点，而 ，故 .

又因为 ，， 均为整数，

所以 是正整数，

从而

所以（关注微信公众号：Hi数学派）

所以，只要取 ，就有

注：  此题第 （3） 问以刘维尔定理为命题背景，在刘维尔定理的证明中，我们可以看出拉格朗日中值定理是构造不等式的关键。此题如果没有第 （2） 问，难度会更大！但是命题人为降低难度，命制了第二问以降低难度，第二问实质就是拉格朗日中值定理，将由拉格朗日中值定理构造的不等式在第二问给出，以便于考生在第 （3） 问中使用。

三、什么是刘维尔定理？

【刘维尔定理】 设实数 满足： 都 ， ，且 互质，使得 ，那么 是一个超越数（关注微信公众号：Hi数学派）.

注： 这是一个用来判断一个数是否是超越数的一个定理. 这个定理的一个比较直观的解释，如果一个无理数可以被有理数很好的逼近（其误差可以用该有理数的分母的任意给定的幂次来估计），那么这个无理数是个超越数。换言之，无理数集当中，代数是不能被有理数很好的逼近的。那么，自然会想到，代数数被有理数逼近的程度大致如何？从下面定理的证明当中就能看到背后的具体内容。

刘维尔定理的证明借助拉格朗日定理可实现，下面给出证明.

证明：

假设 是某个整系数多项式 的零点，考虑 的某个邻域，不妨取为 ，对于这一邻域内任意的有理数（记为 ，其中为 正整数）.

考虑式子

（由拉格朗日中值定理可得，其中 是 与 之间的一个数）。

由多项式函数的连续性可知： 在 上有界，记为 ，即 .

那么上式可以转化为（关注微信公众号：Hi数学派）

由于 ，

所以 为正整数，

则 ，代入上式可得：

从中可以看出，此时 显然不能满足： ，都 且 （即 互质），使得 ，于是假设矛盾，故 是一个超越数.

注1： 一般来讲，强行构造出一个具体的超越数是比较困难的，例如 ， 的超越性直到 19 世纪后期才被证明出来。不过刘维尔还是利用这个定理构造出一个超越数，这个数表示为：，后人把这个数称为“刘维尔数”。

注2： 从定理的证明过程可以看到：

1. 拉格朗日中值定理是构造毕竟不等式的关键。
2. 多项式导数在闭区间上的的有界性。

在上面的 2017 年天津卷的解答过程中，可以看到命题人是如何设计题目，即将这两个关键步骤逐次展开，完成题目命制.

四、以刘维尔定理为背景的“套壳”新定义

【河南许昌24届高三三模T19】（关注微信公众号：Hi数学派）超越数得名于欧拉，它的存在是法国数学家刘维尔（Joseph Liouville）最早证明的，一个超越数不是任何一个如下形式的整系数多项式方程的根： （，，， ， ） . 数学家证明了自然对数的底数 与圆周率 是超越数. 回答下列问题
已知函数 （ ）只有一个正零点.
（1） 求数列 的通项公式；
（2） （i） 构造整系数方程 ，证明：若 ，则 为有理数当且仅当 .
（ii） 数列 中是否存在不同的三项构成等比数列？若存在，求出这三项的值；否则说明理由.

解析：

（1） 若 只有一个正零点，可得 ，

令

令 ，

令 ， ,

故 在 上单调递增，在 上单调递减

可得 在 处取得最大值，且最大值为

而当 时， ，当 时， ,

由题意得，当 最大时，符合题意

故 ，即

（2） （i） 若 ，则 为有理数

若 正整数，假设 为有理数，则 ， ，

则方程 的根中有有理数

又在方程 中，发现 是它的根

而已知 是超越数，故 不是方程的根，与 矛盾，即 不为有理数

综上所述， ， 为有理数当且仅当

（ii） 若数列 中存在不同的三项构成等比数列，则

可得（关注微信公众号：Hi数学派）

由方程右边是有理数知左边是有理数,

由上问知当且仅当 时成立，故

则

设 ，则 ，

则

将 代入进行化简可得

故

故

构造函数

在其定义域内单调递减

又 ，故若

则有 ，即 成立

当且仅当 时成立.

即数列 中不存在不同的三项构成等比数列