1286期八省联考题10，新教材中的双曲函数

该篇素材选自河南省2025年高考综合改革适应性演练第10题。该题以双曲正弦、余弦、正切函数为命题素材，比较简单，熟悉双曲函数的同学可以快速选出答案。另外，有关双曲正余弦函数在人教A版新教材必修第一册第160页习题中给出过。因此同学们在之后的复习备考中，不要忽视教材中每一个角落的题目，说不定就被改成模考甚至高考题了！

• 一、八省联考中的双曲函数题
• 二、新教材中的双曲正余弦函数
• 1、新教材原题
• 2、原封不动的模考题
• 三、双曲正弦、余弦、正切函数
• 1、与正余弦函数的相似性
• 2、为什么仅仅存在符号上的差异？
• 3、欧拉公式推导简述
• 四、双曲正余弦函数与抽象函数
• 1、双曲函数的抽象函数模型
• 2、模考中的双曲函数抽象函数模型
• 五、双曲正余弦函数——特殊的悬链线函数
• 六、更多有关双曲正余弦函数的模考题
• 1、原卷版（文末下载）
• 2、解析版（文末下载）

一、八省联考中的双曲函数题

【2025年八省高考综合改革适应性演练T10】（关注微信公众号：Hi数学派）在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数. 双曲正切函数是一种激励函数. 定义双曲正弦函数 ，双曲余弦函数 ，双曲正切函数 . 则

双曲正弦函数是增函数

双曲余弦函数是增函数

双曲正切函数是增函数

解析：

是增函数

故 正确

在 单调递减， 单调递增

故 错误

是增函数

（关注微信公众号：Hi数学派）故 正确

故 正确

因此选  

注： 从该题可以看出，双曲正弦、余弦、正切函数在一运算和恒等变换上很像同学们熟悉的三角函数，比如上面的求导运算（选项 ），和角公式（选项 ）（关注微信公众号：Hi数学派）

这种相似性并不是巧合，下面会解释。

二、新教材中的双曲正余弦函数

1、新教材原题

人教A版新教材必修第一册P160，如下图

2、原封不动的模考题

【江苏部分省级重点中学高三7月摸底考试T16】
设 ， ，求证：
（1）
（2）
（3）

解析：

（1）

（2） （关注微信公众号：Hi数学派）

（3）

三、双曲正弦、余弦、正切函数

1、与正余弦函数的相似性

眼力劲好的同学会发现上题中的 ， 很像正余弦函数 ， ，因为（关注微信公众号：Hi数学派）

唯一的差别在 和 前的符号是相反的。造成这种相似性的原因在于 ， 其实就是双曲正余弦函数

以下是三个常见的双曲函数表达式，

双曲函数和三角函数非常相似！三角函数具有的和差角公式、和差化积公式、积化和差公式、倍角公式、半角公式、升幂降角、求导运算等等，双曲函数同样具有，而且非常相似，仅仅存在符号上的差异，（关注微信公众号：Hi数学派）比如上面的考题，再比如双曲余弦和差化积公式和积化和差公式

因为双曲函数的各类公式和三角函数非常相似，这里不在展开，感兴趣的同学可以自行推导，也可以仿照下面在介绍为什么仅仅存在符号上的差异时给出的例子进行推导。

2、为什么仅仅存在符号上的差异？

因为在复变函数领域 双曲函数、三角函数和虚数单位 三者之间存在恒等关系

这就造成了符号上的差异，比如

注 1： 最后一步是整体把 代换成 （都是变量，习惯写成 ）

注 2： 上面双曲函数与三角函数恒等式是借助欧拉公式推导的，即将 代入双曲函数得到的。关于欧拉公式的简单推导，小派昨天刚讲过（《1128期 以棣莫佛定理为背景的复数新定义压轴》），另外在泰勒展开拟合函数内容也稍微介绍过，可以参考小派之前的推文《1109期 “新定义”做多了，传统导数压轴是不是都忘了》，为了便于阅读，这里再简单说一下

3、欧拉公式推导简述

（1） 指数函数 ，其任意阶导数 ，在 处泰勒展开

（2） 三角函数 和 ，在 处泰勒展开

这里便可以利用以上三式证明世界上最美丽的公式，欧拉公式： 。

首先，将 的泰勒展开式中 替换成 （ 为虚数单位）得到（关注微信公众号：Hi数学派）

观察此式，你会惊奇发现等号右侧不正是 和 泰勒展开式的线性组合吗？即

再令 ，即可得到 ，移项即为欧拉公式。

四、双曲正余弦函数与抽象函数

双曲函数和三角函数的相似性也导致双曲函数和三角函数的抽象函数模型一样具有相似性。

有关双曲函数和三角函数的抽象函数模型具体可以参考小派之前的推文《1146期 抽象函数赋值技巧》，下面仅摘取双曲函数的部分抽象函数模型

1、双曲函数的抽象函数模型

（21） 对于双曲正弦函数 ，与其对应的抽象函数为

注： 此抽象函数对应于双曲正弦平方差公式：

（22） 对于双曲余弦函数 ，与其对应的抽象函数为

注： 此抽象函数对应于双曲余弦和差化积公式：（关注微信公众号：Hi数学派）

（23） 对于双曲余弦函数 ，其抽象函数还可以是

注： 此抽象函数对应于双曲余弦积化和差公式：

（24） 对于双曲正切函数 ，与其对应的抽象函数为

注： 此抽象函数对应于双曲正切函数和差角公式：

注： 双曲正切函数和正切函数的和差角公式是不同的，原因在于双曲正弦和正弦是相同的，双曲余弦和余弦的和差角公式正负号是相反的，取比值之后双曲正切函数和正切函数的和差角公式就是不同的。

2、模考中的双曲函数抽象函数模型

【24 年 2 月第二届“鱼塘杯”高考适应性练习T8】 已知 是定义在 上单调递增且图像连续不断的函数，且有 ，设 ，则下列说法正确的是（关注微信公众号：Hi数学派）

分析： 此题抽象函数对应的接函数其实就是

也就是双曲正切函数，其图像如下图 2，该函数在 上是下凸函数

所以

附参考标答：

（1） 令 ，

得到

因为 单调递增，所以 不恒等于 ，故

因为  在 上单调递增，故

（2） 令 ，

，

若存在 ，，则 ，则  恒等于 ，与 单调递增矛盾，

故

若存在 ，因为 连续，，，故存在 ，，与上述第三条结论矛盾，

故

（3） 对于本题，

当且仅当 时取等，因为 ， 单调递增，故不取等.

（4）

容易证明 时， 为增函数，

所以

综上所述

五、双曲正余弦函数——特殊的悬链线函数

【镇海中学25届高二下期末T19】（关注微信公众号：Hi数学派）悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特·胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也应该是一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为 ，相应的双曲正弦函数的表达式为
（1） 求 的值；
（2） 若直线 与函数 和 的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为 ，， ，证明： ；
（3） 函数 ， ，若 对任意的 恒成立，求 的最大值.

解析：

（1）

（2） 令 得

当 ，，当 ，

在 处取得极小值

当 ， ；当 ，

所以 的大致图象如图 3 所示

恒成立，所以 在 上单调递增

当 ， ；当 ，

所以 的大致图象如图 1 所示（关注微信公众号：Hi数学派）

不妨设 ，由 为偶函数可得

与图象有三个交点，显然 ，

令

整理得

解得 或 （舍去）

所以 ，即

又因为 ，所以

（3） 设

两边平方得

单调递增

所以当 ，，即

由 得 ，即

该不等式组在 和 时同时满足，即

（关注微信公众号：Hi数学派）上述不等式组两边同乘 得

当 ， 时

当 ， 时

当 ， 时

当 ， 时

经验证 ， 时满足题意

综上所述， 的最大值为 .

六、更多有关双曲正余弦函数的模考题

1、原卷版（文末下载）

2、解析版（文末下载）