1285期八省联考18 光学性质 这是引导回归教材？

该篇素材选自河南省2025年高考综合改革适应性演练第18题。该题并不是什么好题，因为在知道结论的同学看来，可以用光学性质秒杀掉。出在八省联考里似乎在引导学生背结论，这并不好！不过光学性质在人教版新教材选择性必修第一册 A 版第140页阅读思考中有。从这方面看，此题似乎在提醒考生要回归教材，注重课本中的每一个知识点以及拓展点！

• 一、八省联考这道光学性质题
• 二、教材中的圆锥曲线的光学性质
• 三、椭圆的光学性质
• 1、椭圆光学性质的几何证明
• 2、椭圆光学性质的代数证明
• 四、双曲线的光学性质
• 1、双曲线光学性质的几何证明
• 2、双曲线光学性质的代数证明
• 五、抛物线的光学性质
• 1、抛物线光学性质的几何证明
• 2、双曲线光学性质的代数证明
• 六、光学性质三类妙用
• 1、解决入射与反射问题
• 2、解决“距离之和”的最值问题
• 3、解决与“切线”相关的问题
• 七、光学性质在高考中的应用
• 八、光学性质在模考中的应用
• 九、更多模考中的应用
• 1、原卷版（文末下载）
• 2、解析版（文末下载）

一、八省联考这道光学性质题

【2025年八省高考综合改革适应性演练T18】（关注微信公众号：Hi数学派）已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别为 ， .
（1） 求 的方程；
（2） 已知点 ，证明：线段 的垂直平分线与 恰有一个公共点；
（3） 设 是坐标平面上的动点，且线段 的垂直平分线与 恰有一个公共点，证明 的轨迹为圆，并求该圆的方程.

解析：

（1） 由题意知

所以 的方程为

（2） 设 中点为

的中垂线方程为

联立

（关注微信公众号：Hi数学派）得

的垂直平分线与 恰有一个公共点.

（3）

代数解法： 设 ， 中点为

① 当 时， 的垂直平分线为

联立

得

（关注微信公众号：Hi数学派）所以

即

因式分解得

② 当 时， 的垂直平分线为

此时 , 或

或 ，此时也满足方程

因此 的轨迹方程为 ，即圆心为 半径为 的圆

几何解法： 由题意得线段 的垂直平分线为椭圆的切线，记切点为 ，联想到椭圆光学性质及反射定律.

该切线是 的外角平分线， 关于直线 的对称点即为 ， 且在 的延长线上

（关注微信公众号：Hi数学派）

所以点 的轨迹方程为 ，即圆心为 半径为 的圆

注1： 考场上椭圆的光学性质是需要证明的，需要在答题卡上书写步骤，可以参看下面圆锥曲线光学性质的证明。

注2： 此题还可以看出点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，因为在 中， 是中位线。

注3：（关注微信公众号：Hi数学派）代数解法难点在于计算，后面化简 以及因式分解都需要很大的运算量！因式分解时，可先将 看作主元，将主元 的每一次项 （，， ） 的系数（只含 的多项式）都因式分解，之后再整体因式分解；另外，对于高次多项式因式分解，可采取先猜根，再用长除法（多项式除法）的方法逐次因式分解，有关长除法可以参考小派之前的推文《1193期 数列特征方程+1 • 高次方和分解》，《多项式除法》

二、教材中的圆锥曲线的光学性质

在人教版老教材 （见普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-1·A版》，第76页），或新教材（普通高中教科书《数学·选择性必修第一册·A版》，第140页，如下图）都有圆锥曲线的光学性质及其应用的介绍。但是，这些介绍偏于实际应用，并未给出相应的数学推理证明。因此这一期将在教材的基础上给出相关定理及推导。

解析几何是用解析方法(代数方法)来处理几何问题，这并不意味着解析几何决不利用几何知识．相反地，解析几何是将数与形有机地结合起来，所以总是或多或少地利用了一些几何知识．在适当的地方应用几何知识，往往使演算大为简化，这也是解析几何的一个重要技巧．利用圆锥曲线的光学性质解题就是这类问题．

三、椭圆的光学性质

【椭圆的光学性质文字描述】 如图 1，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上；

椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置 ．例如在 处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于 处，对 处的物体加热 . 电影放映机的反光镜也是这个原理.

【椭圆的光学性质数学描述】（关注微信公众号：Hi数学派）如图 2，椭圆 ， 分别是其左、右焦点， 是过椭圆上一点 的切线， 是直线 上的两点（不同于点 ）. 求证： . （入射角等于反射角）

1、椭圆光学性质的几何证明

作 关于切线 的对称点 ，连接 交 于点

要证 ，只需证明点 和点 重合

由 引理 1 知点 是直线 上使得 值最小的唯一点

并且由 引理 2 知点 也是直线 上使得 值最小的唯一点

与点 重合（关注微信公众号：Hi数学派）

则

注： 证明过程中的两个引理如下

【引理1】（关注微信公众号：Hi数学派）若点 在直线 的同侧，设点是直线 上到 两点距离之和最小的点，当且仅当点 是点 关于直线 的对称点 与点 连线 和直线 的交点

证明： 如图 3，在直线 上任取一个不同于点 的点 ，则

根据三角形两边之和大于第三边，有

即 ，得证.

【引理2】 如图 4，设椭圆方程为 ， 分别是其左、右焦点，若点 在椭圆外，则

证明：（关注微信公众号：Hi数学派）连结 交椭圆于点 ，则 ，根据三角形两边之和大于第三边，有

即

（其实若点 在椭圆内，则有 ，证明方法类似）

2、椭圆光学性质的代数证明

要证明反射光线经过 ，只需要证明直线 与 的夹角和与 的夹角相等即可。

设 ， ，即证

由 两边对 求导得

切线 的斜率

所以（关注微信公众号：Hi数学派）

又

由 可得

所以（关注微信公众号：Hi数学派）

即直线 到 对于的角等于直线 到直线 的角，所以经过左焦点 的入射光线 射到椭圆壁经椭圆壁反射后的反射光线为 ，即反射光线经过右焦点 . 故命题得证.

四、双曲线的光学性质

【双曲线的光学性质文字描述】 如图 5，从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；

双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用．

【双曲线的光学性质数学描述】（关注微信公众号：Hi数学派）如图 6，双曲线 ， 分别是其左、右焦点， 是过椭圆上一点 的切线， 是直线 上的两点（不同于点 ），连接 并延长，在延长线上取点 . 求证： . （入射角等于反射角）

1、双曲线光学性质的几何证明

作 关于切线 的对称点 ，连接 交 于点 ，则

则要证 ，只需证明点 和点 重合

由 引理 3 知点 是直线 上使得 值最大的唯一点（显然点 和点 到直线 的距离不相等）

并且由 引理 4 知点 也是直线 上使得 值最大的唯一点

与点 重合，（关注微信公众号：Hi 数学派）

所以

注： 证明过程中的两个引理如下

【引理3】（关注微信公众号：Hi数学派）若点 在直线 的两侧，且点 到直线的距离不相等，设点 是直线 上到点 距离之差最大的点，即 最大，当且仅当点 是点 关于直线 的对称点 与点 连线 的延长线和直线 的交点.

证明： 如图 7，在直线 上任取一个不同于点 的点 ，则

根据三角形两边之差小于第三边，有（关注微信公众号：Hi数学派）

即 ，得证.

【引理4】 如图 8，设双曲线方程为 分别是其左、右焦点，若点 在双曲线外（左、右两支中间部分，如图 8）则 .

证明： 连接 交双曲线于点

当 时，根据三角形两边之和大于第三边，有

所以

当 时，同理可证.

2、双曲线光学性质的代数证明

设 ，

要证明 ，只需证明 ，即证

过点 的切线 ，切线 与 轴交于 .

由双曲线的焦半径公式得

又

所以（关注微信公众号：Hi数学派）

切线 为 之角分线，故

所以

五、抛物线的光学性质

【抛物线的光学性质文字描述】 如图 9，从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴；

抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的．

【抛物线的光学性质数学描述】（关注微信公众号：Hi数学派）如图 10，抛物线 ， 为其焦点， 是过抛物线上一点 的切线， 是直线 上的两点（不同于点 ），直线 平行于 轴 . 求证： . （入射角等于反射角）

1、抛物线光学性质的几何证明

设切线 与 轴交于点 ，由于直线 平行于 轴，所以

过点 的切线 为

切线 与 轴交于 ，焦点为

（关注微信公众号：Hi数学派）

2、双曲线光学性质的代数证明

过点 的切线为 ，则

设直线 与抛物线的准线 交于点 ，则

则由抛物线的定义可知

所以切线 垂直平分线段

六、光学性质三类妙用

1、解决入射与反射问题

【典例1】 设抛物线 ，一光线从点 射出，平行 的对称轴，射在 上的 点，经过反射后，又射到 上的 点，则 点的坐标为______， 点的坐标为______ .

解析： 如图 11，直线 平行于对称轴且 ，则 点的坐标为 ，因此反射线 过点 ，设 ，则

.

2、解决“距离之和”的最值问题

【典例2】 已知椭圆 ，、 为分别是其左右焦点，点 ， 是 上的动点，求 的取值范围.

解法1：

即问题转化为求 的最大值与最小值（关注微信公众号: Hi 教学派）

因为两边之差小于第三边，因此当 、、 三点一线时

取得 的最大值与最小值，即在 处取得最小值， 处取得最大值

所以最小值为 ，最大值为 .

解法2： 根据光线的“最近传播法则”，结合椭圆的光学性质，可得：从 射出被椭圆反射后经过点 的光线所经过的路程往往是最短的。这种情况又分为两类（关注微信公众号：Hi数学派）

一是被上半椭圆反射 （如图，光线从 ）

二是被下半椭圆反射 （如图，光线从 ）

综上所述，只需求出

可得最小值为 ，最大值为 .

3、解决与“切线”相关的问题

【典例3】（关注微信公众号：Hi数学派）已知 是过椭圆 上一动点 的椭圆 的动切线，过 的左焦点 作 的垂线，求垂足 的轨迹方程.

解析： 如图，本题如果忽视了椭圆的光学性质将很难着手，借助椭圆参数方程可以求解，但运算相当繁琐. 由于 是椭圆的切线，切点为 ，联想到椭圆光学性质及反射定律.

根据椭圆的光学性质 是 的外角平分线， 关于直线 的对称点 在 的延长线上

（关注微信公众号：Hi数学派）

而点 、 分别是 、 的中点

所以 . 从而 点轨迹是以 为圆心、以 为半径的圆。

即点 的轨迹方程为

七、光学性质在高考中的应用

【典例4】（2005 江西理科T22） 如图 14，设抛物线 的焦点为 ，动点 在直线 上运动，过 作抛物线 的两条切线 、，且与抛物线 分别相切于 、 两点（关注微信公众号：Hi数学派）
（1） 求 的重心 的轨迹方程；
（2） 证明：

解析：

（1） 设切点 、 坐标分别为 和

切线 的方程为

切线 的方程为

解得 点的坐标为 ，

所以 的重心 的坐标为

所以 ，由点 在直线 上运动，从而得到重心 的轨迹方程为

即

（2） 法1：

， ，