1277期零点差“剪刀”模型，天津导数探究系列2

• 一、系列前言
• 二、零点差问题的起源
• 三、切割线拟合（一次函数拟合）
• 1、什么是切割线拟合？
• 2、什么时候用切割线拟合？
• 四、二次函数拟合
• 五、三次函数拟合
• 更高观点的三种拟合方式——泰勒展开、帕德逼近、洛朗级数
• 六、泰勒展开（Taylor Expansion）
• 1、切线拟合
• 2、麦克劳林级数（Maclaurin Series）与泰勒级数（Taylor Series）
• 3、高中常见的以泰勒展开为背景的不等式
• 七、帕德逼近（Padé Approximant）
• 1、什么是帕德近似？
• 2、如何求解某函数的帕德近似？
• 3、高中常见的以帕德逼近为背景的不等式
• 八、洛朗级数（Laurent Series）
• 1、什么是洛朗级数？
• 2、如何求解某函数的洛朗级数？
• 3、高中常见的以洛朗级数为背景的不等式
• 九、更多模考中的零点和差问题

一、系列前言

不可否认，天津导数一直都是特立独行，极具创意，而且很多考题都是在当年之前不曾出现过的，比如现在同学们已经作烦了的极值点偏移问题都是2010年天津卷第一次命制的，之后此题型经11年辽宁卷、13年湖南卷模仿后，在16年被全国卷I借鉴，自此成为热点题型，风靡各地模考卷（高考历史上含极值点的偏移问题出现过四次，感兴趣的可以看看《极值点偏移系列10讲》）。再比如

• 2015年：零点差与切割线放缩
• 2016年：切比雪夫最佳逼近理论
• 2017年：刘维尔定理
• 2018年：函数与反函数
• 2019年：拉格朗日中值
• 2020年：函数凹凸性与Hardamard不等式
• 2022年：柯西不等式
• 2023年：Stirling（斯特林）公式
• 2024年：Hölder连续（李普希兹条件）
• ……

（关注微信公众号：Hi数学派）另外，最近也有传言试卷结构会再次改变，尽管已经辟谣了，但毋庸置疑的是如今新高考非常注重出新，比如新 卷的新定义题，其风格非常类似于北京卷的数列新定义，导致在高考后的众多模考卷新定义压轴都在向北京卷的新定义靠拢与模仿！可是对于作为传统压轴的“钉子户”导数来说，谁也预测不了其会不会也会出新，风格偏向于天津导数！因此研究天津导数风格还是有必要的！小派在之前的推文中也零零散散的讲过几道题，并没有成系统的讲！因此，小派开一个新系列来和同学们一起学习和研究天津卷的导数压轴。

二、零点差问题的起源

零点差问题尽管已经很传统很套路了，但在模考中还是经常考到，你是否知道这样的题最早出自哪里？没错，还是天津卷

【2015年天津卷理科T20】 （关注微信公众号：Hi数学派）已知函数 ， ，其中 ，且
（1） 讨论 的单调性；
（2） 设曲线 与 轴正半轴的交点为 ，曲线在点 处的切线方程为 ，求证：对于任意的正实数 ，都有 ；
（3） 若关于 的方程 （ 为实数）有两个正实数根 ，求证：

解析：

（1）   ，其中 ，且

① 当 为奇数时，

令 ，解得 或

当 时， ， 单调递减

当 时， ， 单调递增

当 时， ， 单调递减

② 当 为偶数时，

当 时， ， 单调递增

当 时， ， 单调递减.

（2） 证明： （关注微信公众号：Hi数学派）

设点 的坐标为 ，则 ，

曲线 在点 处的切线方程为

即

令

即

则

由于 在 上单调递减

故 在 上单调递减

又因为 ，所以

当 时，

当 时，

所以 在 内单调递增，在 内单调递减

所以对任意的正实数 都有

即对任意的正实数 ，都有

（3） 证明： 不妨设

由 （2） 知

设方程 的根为 ，可得

当 时， 在 上单调递减

又由 （2） 知

可得

类似的，设曲线 在原点处的切线方程为 ，可得

当 ，

即对任意 ，

设方程 的根为 ，可得

因为 在 上单调递增，且 ，因此

由此可得（关注微信公众号：Hi数学派）

因为 ，所以

故

所以

注： 以上解决零点差的做法即是一次拟合。

导数零点和差问题是导数压轴中的常考热点题型，该问题的形式大多为 ， 的证明为主。这类问题的根或极值点往往是超越方程的根，无法求出解析解，故最基本的方法是分析法，即通过移项使不等式两边均落在相关函数的单调区间内，然后构造新函数求导证明，这种方法属于常规解法，但计算量较大且易出现计算错误；但是函数拟合可以方便地解决这类问题。函数拟合一般有切割线拟合（一次拟合）、二次拟合、三次拟合、以及更高观点的三种拟合方式——泰勒展开、帕德逼近、洛朗级数。

三、切割线拟合（一次函数拟合）

1、什么是切割线拟合？

由所需证明的命题 ，我们可以按照如下图找到一条割线 ，一条切线 ，设其与直线的交点分别是 ，

这样操作之后，就会使

这是因为，当 时，有 ，故 ，又 在该区间内单调递减可知 ；同理我们亦可得到 ，结合两者，

注： 在选择切割线的时候往往会考虑 ，使易求解得 尽量往上靠，即尽量使 。这样，我们可以将结论中的 作为一个已知条件，在演草纸上反解出需要的拟合函数 和 。

2、什么时候用切割线拟合？

何时选择切割线拟合（一次函数拟合）？这需要看具体的题目，当题目中区间内函数是（严格）凸函数的时候，也就是有极小值点 且 ，或是有极大值点 且 .

注： 关于凸函数的详细定义可以参考小派之前的推文《凸函数9种定义及等价描述》，《913期【导数】成都一诊凸凹反转与10个常用凸凹函数图像》，《再议天一大联考导数压轴凸凹性背景》

下面结合典例具体应用一下切割线拟合（一次函数拟合）

【典例1（2021年新高考Ⅰ卷T22）】  已知函数 （关注微信公众号：Hi数学派）.
（1） 讨论 的单调性；
（2） 设 为两个不相等的正数，且 ，证明： .

解析：

（1） 略

（2） 对 两边同时除以 再移项提公因数得

即

由 （1） 知 在 单调递增，在 单调递减，存在极大值点 ，一个零点 ，如下图 2 所示。

且由 （1） 还可以得到（关注微信公众号：Hi数学派）

不妨设 ， 且 ，则即证

对于 ，满足我们使用切割线拟合的条件，即 存在极大值点为 且 ，是一个上凸函数。

对于 ，是典型的极值点偏移问题，而且可以利用小派之前推文介绍的方法证明，即利用利用 积分不等式解决，不熟悉的同学可以参考小派之前的推文 《1072期【导数】Hadamard 不等式 • 高考模考中应用》

下面利用切割线拟合证明

如上图，我们选取 、 构造割线 ，选取 构造切线 ，且与 交点横坐标分别为 ，.

易知

得证。

四、二次函数拟合

在使用二次拟合的时，一般会有以下四种情况，分别对应不同命题形式，如下图。

零点差

零点和

注： 从上图中可以看出二次函数拟合时都以 的极值点展开，这主要因为二次函数拟合是对称拟合， 的极值点是最能体现 本身对称性的点。以极值点作为拟合点的二次拟合可以得到拟合效果更好的二次函数，避免拟合差距过大。

下面结合典例具体应用一下二次函数拟合

【典例2】  已知函数 .
（1） 讨论函数 的零点个数（关注微信公众号：Hi数学派）；
（2） 若函数 存在两个零点 ，，证明：

解析：

（1） 略

（2） 这个是左面尽管非常复杂，但还是有迹可循：把根式里的式子展开，与外面的分母对比，将其变形为

再结合二次函数零点差公式 ，很自然的就想到二次函数拟合，而且拟合函数也可以确定

设 的两个零点为 ，，则

这时，根据上图四种二次函数拟合情况，很自然地得到

到这里，若证

只需证明（关注微信公众号：Hi数学派）

即证 ，等价于证明

此题本质上就是零点差问题嵌套一个极值点偏移问题，而这个极值点偏移很容易解决，

由 知，

故 ，得证。

点睛： 此题虽然看起来非常复杂，但是二次拟合函数可以由 直接得出，不需要我们通过待定系数法自己求得。下面这道例题的二次拟合函数就需要自己通过待定系数法得到，

【典例3】 （关注微信公众号：Hi数学派）已知函数 .
（1） 讨论函数 的单调性和零点个数；
（2） 若函数 存在两个零点 ，，证明： .

解析：

（1） 略

（2） 由 （1）  知， 是 的极大值点，设 ，且令

以保证拟合出的函数与原函数相似。

解得

设 的两个零点为 ，，则由韦达定理

通过构造 求导知，

当 时，

当 时，

这时，结合上图四种二次函数拟合情况，很自然地得到

五、三次函数拟合

三次函数拟合的情况相对较少，但并不是没有。那什么时候选择使用三次函数拟合呢？ —— 有增有减.

在选择三次函数去拟合时，我们需要保证两者的极值与单调性相同。一种常用方法是待定系数法，即设 . 和二次函数拟合一样，为保证两者的极值与单调性相同，我们需要列出

然后解出参数，进而得到 三次拟合函数 .

【典例4】  已知函数 .
（1） 讨论函数 的单调性；
（2） 若函数 存在两个极值点 ，，证明： .

解析：

（1） 略

（2） 设 ，且令

解得 .

然后构造 求导知，

另外易知 对称中心为 ，设 极值点为 ，，

则

注： 上面的方法需要待定四个系数，求三次导和解方程还是比较繁琐的，下面介绍一个一种相对简单的方法——借助泰勒展开式的三次拟合。

为了得到三次函数，我们借助 的泰勒展开式，得

将 三阶展开式转化为（关注微信公众号：Hi数学派）

将 与 作差消去 ，即可得到 三次拟合函数，

即

更高观点的三种拟合方式——泰勒展开、帕德逼近、洛朗级数

为什么不等式恒成立问题是各大模拟题乃至高考题长盛不衰的命题方向？原因之一就是不等式恒成立问题在高等数学下有太多的命题背景，比如现在同学们已经非常熟悉的泰勒展开。一个初等函数稍微展开几项就是一个极好的不等式，例如 等等。

但是现在模拟题中由泰勒展开为基础的不等式似乎已经用尽了，因为泰勒展开有其局限性——只能在收敛域内将要展开的函数展开成多项式函数 ，拟合放缩精度有限。因此现在命题人也着眼于精度更高的函数拟合逼近方法，并以此为命题背景，比如将函数展开成分式函数的帕德逼近、洛朗级数等等

下面就来详细介绍一下泰勒展开、帕德逼近、洛朗级数 这三种函数拟合放缩

六、泰勒展开（Taylor Expansion）

1、切线拟合

像上面这样的不等式背后有一个共同的特征，具体而言：将具凹凸性的超越函数用其某点处的切线拟合． 例如由函数 的凸性及点 ， 处的切线，可得第一、第三个不等式；由函数 的凹性及点 处的切线，可以得到第二个不等式等 ．像这样的拟合方法，个人习惯称为切线拟合．这几个不等式就是在切点处对函数的一阶拟合。

切线拟合的一大优势在于对切点附近的拟合程度相当好．这不仅是因为切点在原来的函数上，更是因为它拟合了函数在切点处的变化趋势，即拟合了函数在切点处的导数值．正是这一点，切线拟合及切线放缩在高中范围研究函数中有较广泛的应用（关注微信公众号：Hi数学派）.

当然，结合图象可以看出，这种拟合方式是很粗糙．为此，还需要找到一种更精确的拟合方法．而切线拟合的拟合方法给了启示我们：既然用一阶导数逼近就可以在切点附近达到一定的精度，那多导几次，让拟合函数在某点处的任意阶导数与原函数的同阶导数相等，精度可能会更高．

这正是泰勒展开的思想：构造一个各项系数待定的多项式，并使它在某点处的任意阶导数与原函数的同阶导数相等．

为什么泰勒选择的是多项式函数，而不是分式函数，原因之一就是多项式求导相对容易，便于操作，并没有考虑精度问题。

2、麦克劳林级数（Maclaurin Series）与泰勒级数（Taylor Series）

对给定的函数 及其定义域内一点 ，为用一个 次多项式去拟合该函数，考虑一个一个 次多项式

满足:

则我们可以认为：满足该条件的多项式在 处对函数 有较好的拟合效果．

下面我们来讨论如何去求这样的多项式．

首先，考虑到 形式不太方便，我们将 变形成

其中 是常数列．这样则得

因此比对系数有（关注微信公众号：Hi数学派）

这样就给出了 在点 处的 次多项式逼近，即

该式称为函数 在点 处的泰勒级数．特别地，当 时，该式又称为函数 的麦克劳林级数 ．以下我们统称为泰勒级数．而求出一个函数在某点处泰勒级数的方法称为泰勒展开．

注： 在高等数学中，泰勒展开还分为带皮亚诺余项或拉格朗日余项的展开，但在这里主要是面向高中开阔视野，不在过多展开叙述。

3、高中常见的以泰勒展开为背景的不等式

（1） 指数函数 ，其任意阶导数 ，在 处泰勒展开

（2） 三角函数 和 ，在 处泰勒展开

注： 这里便可以利用以上三式证明世界上最美丽的公式，欧拉公式： 。

首先，将 的泰勒展开式中 替换成 （ 为虚数单位）得到

观察此式，你会惊奇发现等号右侧不正是 和 泰勒展开式的线性组合吗？即

再令 ，即可得到 ，移项即为欧拉公式。

（3） 分式函数 ，在 处泰勒展开

（4） 分式函数 ，在 处泰勒展开