昍爸的数学课程11.11超级优惠券活动最后1天，详情见：昨天的文章发表后，粉丝们纷纷留言予以支持。那我今天就斗胆用这个劝退标题发一篇。文章有少量数学公式，但都比较易于理解。
请大家读完后来个”三连”，用实际行动表示一下对干货文章的支持。
以下是正文。
如果你只能展示一枚数学珍宝，那你会选择什么？
《天才引导的历程：数学中的伟大定理》一书是这么评价这条定理的：
如果说世界上确实有真正的经典、有伟大的定理，那一定是欧几里得的这条论证。他的这条论证常常被人们作为数学定理的最佳典范，因为这一定理简洁、优美，又极为深刻。20世纪英国数学家哈代在其精彩的专著《一个数学家的辩白》中称欧几里得的证明“......自发现之日至今，永葆其生机与效力，2000年岁月没有使它产生一丝陈旧感。要证明有无穷多个质数，从大的方向来说，可以分为两类：第一类是反证法，我们假设只有有限多个质数，然后尝试推出矛盾。
第二类是构造性证明，即我们尝试用某种方法生成无穷多个质数。下面是我汇集的7种证法，供大家参考。
第一种证法属于反证法，是欧几里得在《几何原本》给出的，2000年来一直被人们奉为数学定理的最佳论证。假设质数只有有限个，分别为P1, P2, …, Pn，令Q=
P1×P2×…×Pn+1，则有两种情况：（2）Q为合数，则Q必有一个质因子P。但是Q不能被P1,
P2, …, Pn中的任何一个整除（除以它们的余数均为1），因此P不等于P1, P2, …, Pn，也矛盾！证法一的反证法可以很容易被改造为如下的构造性证明。我们假设S为已知的质数集合，初始时可以设S={2}。构造Q=
P1×P2×…×Pn+1，其中P1, P2,
…, Pn为S中的所有质数，则有两种情况：（2）Q为合数，则Q必有一个不同于P1, P2, …, Pn的质因子（因为Q除以它们的余数均为1），不妨设这个质因子为P，则令S=S∪{P}。继续对S重复上面的步骤，每一次都能生成一个新的质数。证法三也属于反证法，思路与证法一相似，但用于推出矛盾所构造的Q不同。
首先，令Q=n!+1，则Q必有一个大于n的质因子。这是因为Q除以2，3，…，n的余数都是1，有两种情况：（1）Q是质数，此时Q本身就是自己的质因子，且Q>n；（2）Q是合数，此时Q必有质因子P，且P不等于2，3，…，n，因此P大于n。假设质数只有有限多个，那么一定存在一个最大的质数，不妨设为Pmax。考虑Pmax!+1，根据上面的结论，必然有一个质因子大于Pmax，矛盾！事实上，仿照证法二，也可以很容易将这个证法改造成一个构造性证明，此处略去。引理：当1≤i＜j≤n时，(n!×i+1, n!×j+1)=1。假设n!×i+1和n!×j+1不互质，则考虑它们的一个大于1的质因子p。由于p|(n!×i+1)，可知p一定大于n。这是因为n!×i+1除以2，3，…，n的余数都是1，因此其质因子一定大于n。由于p|
(n!×i+1)且p|(n!×j+1)，因此p整除两者的差，即p|n!×(j-i)，但前面已证明p>n，同时1≤j-i≤n-1，一个大于n的质数p不可能整除n!×(j-i)！因此，(n!×i+1, n!×j+1)=1。(n+1)!×1+1, (n+1)!×2+1，…，(n+1)!×(n+1)+1根据前面的引理，这n+1个数两两互质，取每个数的一个质因子，则这n+1个质因子也两两互质，因此互不相同，从而至少有n+1个质数，矛盾！证法五与证法一和证法三类似，属于反证法，只是用于推出矛盾的Q构造方法不同。假设质数只有有限个，分别为P1, P2, …, Pn。取m满足1<m<n，构造两个数：（1）当1≤i≤m时，(Q, Pi)=(R+S,
Pi)=(S, Pi)=1（2）当m<i≤n时，(Q, Pi)=(R+S, Pi)=(R,
Pi)=1可见，Q与所有质数互质，从而Q必有一个不同于任何Pi的质因数，矛盾！需要说明的是，仿照证法二，也可以很容易把这个反证法改造成构造性证明。证法六与证法一、证法三和证法五类似，属于反证法，只是用于推出矛盾的Q构造方法不同。这个Q的构造过程非常类似于证明中国剩余定理所使用的构造方法。假设质数只有有限个，分别为P1, P2, …, Pn，令M= P1×P2×…×Pn，设Mi=M/Pi，令Q=
M1+ M2+…+ Mn。则有：(Q,
Pi)=( M1+ M2+…+ Mn, Pi)=(
Mi, Pi)=1因此，Q与所有质数互质，从而必有一个不同于任何Pi的质因数，矛盾！需要说明的是，仿照证法二，也可以很容易把这个反证法改造成构造性证明。这个证明利用费马数两两互质来证明质数有无穷多个，本质上属于一种构造性证明，但有点给人杀鸡用牛刀的感觉。
所谓费马数，是指形如![]()
的数，此处k为非负整数，前5个费马数分别为：F0=3,
F1=5, F2=17, F3=257, F4=35537不难验证，这5个费马数都是质数。费马曾做过一个大胆的猜测，即所有费马数都是质数。但很遗憾，他的这个猜测是错误的。人们发现，F5是合数。更具讽刺意味的是，除了前5个费马数是质数，目前人们还没有发现其它的费马数是质数。但即便如此，费马数在数学上也很有价值，甚至与尺规作图都有密切关系。为了利用费马数证明质数有无穷多个，我们先证明一则定理：定理：设m和n为不同的两个非负整数，则费马数Fm和Fn互质。引理：设Fk表示第k个费马数，那么对于所有正整数n，有：假设m<n，则根据上面的引理，有：F0F1…Fm…Fn-1= Fn-2。设(Fm，Fn)=d，则d|Fm且d|Fn，从而d|(Fn-F0F1…Fm…Fn-1)，即d|2。由于费马数都是奇数，因此d=1，即Fm和Fn互质。因为费马数有无穷多个，每个费马数都有一个质因子，由于费马数两两互质，这些质因子也两两互质，因此各不相同，这就证明了质数有无穷多个。关于更多数论的内容，可以在我的初等数论课程找到。课程适合六年级和初中具有一定代数基础的孩子学习。![]()
（全文完）
作者：昍爸，中国科学院计算机博士，大学教授，博士生导师。主持国家自然科学基金4项，在国内外高水平期刊和会议发表论文60余篇。曾获初中和高中全国数学奥林匹克联赛一等奖，江苏赛区第一名，高考数学满分。著有畅销书《写给孩子的数学之美》、《搞定平面几何：辅助线是怎么想出来的》、《给孩子的数学思维课》与《给孩子的数学解题思维课》。
