小奥会学许多课内不学的巧算，但有些巧算纯粹为了炫技，除了浪费脑细胞记住规则之外，对以后的数学基本没有帮助。
在小奥阶段学的速算和巧算，有两个对以后的中学甚至大学数学的学习帮助都很大。
如果你不想费劲看文字，只想甩给孩子视频，可以直接拉到文末购课，11.11有超值福利。。一是等差数列求和。
等差数列（等比数列）求和在中学和大学数学里会频频出现。这也是小奥入门的必学内容之一。
但学习的方法绝不是让孩子在不理解的情况下强行记住等差数列的求和公式。8年前，我就是因为看到魔都的大学同学这么教孩子，才开设了这个公号，希望能正本清源，为数学教育尽一点绵薄之力。
比如要计算：1+2+3+4+...+99+100=？如果用加法一项项加起来，那要算上好一会儿。我们知道乘法是加法的简便运算，那能不能用乘法来简化这个计算？但是，使用乘法的前提是要求若干个相同的数相加，而现在这个算式不是相同的数相加。所以，问题就变为：能不能从这个加法算式中创造（或组合）出相同的加数？二是裂项，也是今天的文章重点讲的内容。
裂项在高中和大学的数学里也用得很多，在小奥的学习过程把这一计算能力练好对日后的数学学习非常有帮助。
所谓裂项，就是把一项变成两项，从而达到前后相消的目的。小奥里使用较多的是分数裂项，其实除了分数裂项，还有整数裂项。我们分别讲解。
在一步步的深入过程中，大家可以体会一下怎么举一反三，怎么把未知问题转化为已知问题，真正做到由点及面，一次性解决一类问题。
那如果分母的两个乘数之间不是相差1，而是相差某个常数d呢？注意：这里最关键的是裂项成两个分数相减时，前面要乘以一个数。这个数是多少，取决于公差。很多人刚开始不知道该乘以多少，此时完全可以通分试一下。一般化地，有：![]()
再复杂一点，如果分母不是两个数相乘，而是三个或更多个自然数相乘呢？这个时候，就要思考一下应该裂项成什么了。我们希望的是通分后，分子相减是个常数，显然在这里应该是公差。按照这一思路，就知道如果分母是3个数相乘，那就应该裂项成两项分母都是两个数相乘的分数之差，如下所示：当然，更一般一点，分母还可以是n(n+d)(n+2d)这种，思路类似。总结一下：如果分母是n个等差的数相乘，那就裂项成两个分母为n-1个等差的数相乘的分数之差，当然还需要乘以一个因子。
我们可以把两个自然数相乘裂项成两个乘积之差，每个乘积都是3个自然数相乘，如下所示：n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3[1×2×3-0+2×3×4-1×2×3+...+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3=n(n+1)(n+2)/3
为什么会想到裂项后的每一项要从两个自然数相乘变成三个自然数相乘呢？
这是因为整数裂项不是通分，而是提取公因式！提取出来后剩下两项之差得是常数，这就引导我们往增加一项思考了，而增加的一项之差显然应该是公差。1×4+4×7+...+(n+1)(n+4) 【注：n是3的倍数】 n(n+3)=[n(n+3)(n+6)-(n-3)n(n+3)]/9[1×4×7-(-2)×1×4+4×7×10-1×4×7+...+n(n+3)(n+6)-(n-3)n(n+3)]/9如果每一项不是两个自然数相乘，而是三个或更多的自然数相乘呢？也可以类似处理，比如：1×2×3+2×3×4+...+n(n+1)(n+2)[n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)]/4=[1×2×3×4-(-1)×0×1×2+2×3×4×5-1×2×3×4+...+n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)]/4根据裂项求和公式，我们还可以推导平方和公式。小学奥数可能有人会教各种技巧推导平方和公式，但有些方法并不具备推广价值。而裂项求和则不同，可以把这一类求和推导一网打尽，非常具有普适意义。具体如下：每一项都可以转化成裂项求和以及不大于k-1的整数次幂的求和。原式=[1×2-0×1+2×3-1×2+...+n×(n+1)-(n-1)n]/2没错，该做法确实有杀鸡用牛刀之嫌，但这恰恰体现了数学的统一美！最后总结一下：n个等差的自然数相乘的项，可以裂项成两个n+1个等差的自然数相乘的积之差，当然，还需要再乘以一个因子。
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（全文完）
作者：昍爸，中国科学院计算机博士，大学教授，博士生导师。主持国家自然科学基金4项，在国内外高水平期刊和会议发表论文60余篇。曾获初中和高中全国数学奥林匹克联赛一等奖，江苏赛区第一名，高考数学满分。著有畅销书《写给孩子的数学之美》、《搞定平面几何：辅助线是怎么想出来的》、《给孩子的数学思维课》与《给孩子的数学解题思维课》。
