数学是什么？
在许多人看来，数学是天书一样的枯燥公式，是不堪回首的往事，是想甩又甩不掉的包袱。然而，我们却一遍又一遍地被洗脑：数学是美的！
如果我们一直挣扎于永远也刷不完的数学题海，那可能穷其一生也无法欣赏到她那与众不同的美。学好数学，不仅要脚踏实地低头看路，还要时时抬头看天，仰望历史长河中那闪耀的群星。亚里士多德曾说：硬说数学科学无美可言的人是错误的。美的主要形式是秩序、匀称与明确。前些天，我在整理一份《数学之美》的PPT，其中有这样一张图。女儿看到后觉得很好看，主动问我要去用作她电话手表的头像。这个连小学三年级孩子都能感受到美的图形，就是著名的月牙定理。古希腊人对几何情有独钟。为了计算面积，他们把各种图形都尝试转化为正方形。比如，他们用尺规作图的方式把长方形成功转化为正方形，又把三角形面积成功转化为长方形，从而也能转化为正方形。这样，就能把任意不规则的多边形都转化为正方形。但古希腊人长时间认为，把与圆有关的图形转化为正方形是不太可能的。因此，当希波克拉底第一次把如上图所示的与圆有关的月牙形转化为一个三角形时，你可以想象他带给古希腊人怎样的震撼。也正是因为希波克拉底的这个发现，使古希腊人转而相信可以把更一般的圆形也转化为一个正方形。然而，这个问题却困扰了世人多个世纪，迟迟未有进展。直到圆周率Π被证明为超越数，这个问题才画上了句号：化圆为方不可能做到！古希腊人热衷于用尺规作图作各种正多边形，原因就在于正多边形所展现的秩序和匀称。与正多边形类似，每个面都由相同的正多边形组成的正多面体也有着与生俱来的高贵。这种优雅的高贵同样来源于其外在的对称美。柏拉图认为，一共只有5种正多面体: 正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。并且，他将这些正多面体与自然界的物质联系了起来。在欧几里德《几何原本》的第465个命题（也是全书最后一个命题），他漂亮地证明了只有这5种正多面体。几何学已经限定了这些优美的立体形状只有5种！
欧几里得的证明思路基于如下思路：在任何一个顶点处，构成立体角的平面角之和小于360°。据此，他做了如下分析：1. 假设构成正多面体的是内角为60°的正三角形，则有三种情况：
（1）每个顶点处的立体角由3个正三角形构成，则三个角的度数之和为180°，对应正四面体；（2）每个顶点处的立体角由4个正三角形构成，则四个角的度数之和为240°，对应正八面体；（3）每个顶点处的立体角由5个正三角形构成，则五个角的度数之和为300°，对应正二十面体；2. 假设构成正多面体的是内角为90°的正方形，则只有一种情况，即每个顶点处的立体角由3个正方形构成，三个角的度数之和为270°，对应正方体；3. 假设构成正多面体的是内角为108°的正五边形，也只有一种情况，即每个顶点处的立体角由3个正五边形构成，三个角的度数之和为324°，对应正十二面体。柏拉图对几何学推崇备至。据说，他所创立的柏拉图学院门口有一块牌子，上书“不懂几何者勿入”。几何学是古希腊数学的核心。位于这个核心中央的，就是被誉为“千年第一定理”的勾股定理。勾股定理在西方也被称作毕达哥拉斯定理，因为毕达哥拉斯学派首先给出了严格证明。有趣的是，毕达哥拉斯学派还有一个类似宗教的信仰：万物皆数。这里所说的数，指的是有理数，也就是任何数都可以表示为整数与整数之比。但毕达哥拉斯学派的一个弟子希伯索斯发现，正方形的对角线与边长之比就不能表示为整数和整数之比。而他的这一发现，就建立在毕达哥拉斯定理之上。可以说，毕达哥拉斯学派用自己的矛，硬生生戳穿了自己的盾。
柏拉图关于此有一句名言，“如果谁不知道正方形的对角线和边长是不可通约的，那他就不值得人的称号”。勾股定理的证明众多，但我最喜欢的还是欧几里得《几何原本》给出的证明。这个证明充分体现了平面几何的精髓：对称、旋转、全等、分割、等积变换。如果大家仔细观察和思考这个图形，就会发现它与本文开头的月牙定理图有着异曲同工之妙。勾股定理的证明方法众多，现存的证明超过500种，足足可以写一本书。我国古代数学家也给出了非常漂亮的勾股定理证明，比如下面的赵爽弦图和青朱出入图。前者曾作为2002年于北京召开的国际数学大会的会标，而后者由我国古代著名数学家刘徽提出。华罗庚先生对青朱出入图给予高度评价。他认为，为了让外星人知道我们会证明，不妨把“青朱出入图”送去。在前我在《这张最美的图，值得收藏！》一文中，提到下面这张图，其中蕴含了11种勾股定理的证明，汇集了平面几何的大部分基础知识。值得一提的是，勾股定理的逆定理也同样成立，而欧几里得的证明又是值得大家仔细审读的经典。《几何原本》绝对是一本数学瑰宝，2000年来无数的数学家、科学家乃至政治家都从中汲取到丰富营养。从几个定义、公理和公设出发，《几何原本》建立起整个几何学大厦，这一做法成为西方理性思维的基础。但《几何原本》不仅仅是一本讲几何的书，还涉猎许多数论内容，其中就有一个被认为史上最经典的论证：对此，欧几里得给出了2000年来一直被人们奉为典范的一个证明：假设质数只有有限个，分别为P1, P2, …, Pn，令Q= P1×P2×…×Pn+1，则有两种情况：（2）Q为合数，则Q必有一个质因子P。但是Q不能被P1, P2, …, Pn中的任何一个整除（除以它们的余数均为1），因此P不等于P1, P2, …, Pn，也矛盾！世界知名数学史专家William Dunham曾这样评价这条定理和论证：如果说世界上确实有真正的经典、有伟大的定理，那一定是欧几里得的这条论证。他的这条论证常常被人们作为数学定理的最佳典范，因为这一定理及论证过程简洁、优美，又极为深刻。
20世纪英国数学家哈代在其精彩的专著《一个数学家的辩白》中称欧几里得的证明“......自发现之日至今，永葆其生机与效力，2000年岁月没有使它产生一丝陈旧感。”阿基米德是史上最伟大的数学家之一，他的数学思想领先了世界整整1500年。
虽然阿基米德发明了许多强大的武器和实用的工具，比如杠杆、滑轮和石弩，但与他发现的美妙数学定理相比，这些都黯然失色。在阿基米德之前，人们已经知道圆的周长与直径之比为常数。并且，欧几里得的《几何原本》也证明了圆的面积与其半径的平方之比是常数。但欧几里得却止步于此，并没有去探究这两个常数之间是什么关系。阿基米德在他短小精炼的《圆的测量》一书中解决了这个问题。他的做法被称作双重归谬法，实际上就是从圆的内接和外切多边形两方面无限逼近圆的面积。这一思想，就是整整1800年后才诞生的微积分的雏形。
阿基米德并没有就此停下他思考的步伐，在他随后那不朽的名著《论球与圆柱》中，进一步解决了球的表面积和体积问题，并给出载入史册的著名关系：阿基米德的成就标志着古希腊数学辉煌的巅峰。但随着叙拉古城的陷落，这位盖世无双的数学天才最终命丧罗马士兵之手。据说，在临死之前，他依旧在深思一道几何问题。古希腊最终被罗马人的武力所征服，消失在茫茫的历史长河中。但是，他们所留下的璀璨星光却照亮了人类的整片天空。双十一（11.4-11.11）期间， 为粉丝购买数学课准备了限时限量的超值优惠券，如下表所示。购买方式和更多详情见：几年级开始学奥数才不晚？![]()
（全文完）
作者：昍爸，中国科学院计算机博士，大学教授，博士生导师。主持国家自然科学基金4项，在国内外高水平期刊和会议发表论文60余篇。曾获初中和高中全国数学奥林匹克联赛一等奖，江苏赛区第一名，高考数学满分。著有畅销书《写给孩子的数学之美》、《搞定平面几何：辅助线是怎么想出来的》、《给孩子的数学思维课》与《给孩子的数学解题思维课》等。
