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我们习惯于教育孩子要勤奋和努力，但有这么一种说法，即恰恰是懒人改善了大家的生活。有人嫌走路累，于是发明了自行车；有人不想洗衣服，于是发明了洗衣机；有人懒得拖地，于是发明了扫地机......学好数学也一样，如果没有一点“偷懒意识”或“懒人思维”，而是一味死学，那也断不可取。这种“偷懒意识“或“懒人思维”，从小就可以开始培养。很多孩子第一次背九九乘法表有畏难情绪，那完全可以直接让孩子去计算7+7+7+7+7+7+7+7。如果孩子还不觉得麻烦，那可以让他把7加上2024次！仅仅写完这个算式就得大半天，更何况还要把它们一个个加起来? 这个时候你再告诉孩子用乘法可以很快算出结果，他学乘法的畏难情绪一定会烟消云散。也正因为此，我们说乘法是加法的简便运算。所谓简便运算，就是“偷懒”使然。如果孩子觉得除法不好学，那完全可以让他用减法计算一下2023÷7，即让他反复用2023减去7，看看减多少个7可以得到0。等他减得实在不耐烦的时候，应该就会对学习除法产生兴趣了。
从加法记数到位值记数的演化也可以看成是源于“懒人思维”。我们现在从小就学位值记数，缺乏对比，这导致孩子无法真正体会位值记数的好处。但实际上，位值记数是人类社会长期发展后的选择。有个有趣的故事，说的是一个地主的儿子只学过”一、二、三”这三个汉字的写法，为了给某位姓万的人写请帖，他傻傻地以为要写上一万条横线。这其实就是加法记数的问题，即为了表示一个较大的数，需要用很多符号，完全能让人手酸到写不动。位值记数则能避免手酸，可以用很少的符号表示很大的数。比如，34567=3×10000+4×1000+5×100+6×10+7如果偷懒精神已经在你的潜意识里生根发芽，那在这里或许又能敏锐地洞悉到数学发展史上定义的一个新运算：乘方运算。
想象一下，如果不是34567，而是1234567890， 那么1代表1000000000，如果位数更多，那后面要写的0就更多。为此，数学家引入了乘方的表示方法，即用109来表示1000000000，这样就省却了写很多0的烦恼。
数学王子高斯的神奇故事大家肯定都听过。当年高斯的老师给高斯和他的同学们布置了一道“难”题：1+2+3+4+...+100=？如果用加法计算，那确实要算上好一会儿。但高斯可不想累得像头牛，他想出了等差数列求和的方法，其基本思想就是用乘法去解决加法问题。然而，使用乘法要求若干个相同的数相加，但现在这个算式不是相同的数相加。不过，高斯发现通过首尾配对就可以制造出相同的加数，这样就可以使用乘法了。看到了吧？这依然是乘法是加法的简便运算这一懒人思维的巧妙运用！计数里的乘法原理入门不难，但对于不少人来说熟练运用却不容易，其实也是缺乏一点“偷懒”意识。当你拥有偷懒意识，难以忍受分类加法的繁琐时，自然就会主动拥抱乘法。如果你安守本分、老老实实去枚举各种形状的长方形，那就很难摸到乘法原理的大门。而一旦你试图挣脱加法那笨重的枷锁，乘法就是很自然的产物。在高中数学里，对数是一个让人头疼的内容。但是，对数某种意义上也可以看成是“偷懒”的产物。在进行天文计算时，通常需要复杂的乘除和开方运算，比如3.14159×4.7856，√3.14159等。利用对数表，可以把乘除运算转化为加减运算，为了计算a×b，我们先计算log(ab)。由于log(ab)=log(a)+log(b)，log(a)和log(b)都可以通过查对数表得出，从而得出log(ab)的值，再查反对数表，就可以得出乘积ab的值。同理，a÷b可以转化为减法log(a)-log(b)和查表来解决。有效利用对称性简化问题的解决是一种合理的偷懒。比如，在“使用1，1，2，2，3，4这六张数字卡片能组成多少个不同的六位数？”这个问题里，如果我们观察到1和2具有同等的地位，那在枚举时枚举完首位是1的六位数后，就不用再冒着出错的危险枚举首位是2的了，其个数显然与首位为1的相同。同理，枚举完首位为3的六位数后也不用再费劲枚举首位为4的了。可见，利用对称性能大幅降低我们的工作量。但如果缺少这种基于对称性的偷懒意识，那怕是连最基本的“同理”都不会写。最后再说一下抽象思维和模型化思想，其实也是一种“懒人思维”，目的就是一种方法解决一类问题，而不是每次解决一个特定问题。
还是以刚才的1+2+3+...+100为例，也许你学会了解决这个特例，但下一次要计算2+5+8+...+98时，你可能又犯难了。为此，数学家就把这个问题抽象化为一个一般性的等差数列求和问题，并给出求和公式。下次再碰到等差数列求和问题，只要把相应的数代入公式即可。同样的思想也出现在初中一元二次方程的求根公式。对于任何一个一元二次方程的特例，比如2x2+12x+1=0，我们都可以通过配方法或数形结合法求出它的根。但当数学家把它抽象成一个一般化的一元二次方程ax2+bx+c=0并给出求根公式后，简单地把方程写成标准形式后代入系数就可以直接得出方程的根了。但是，抽象思维和模型化思想绝不是让大家去套用公式和模型，而是要具备这种从特殊到一般的意识，学会这种思维方式。从上面的这些例子，大家应该能看到拥有一点“偷懒意识”或“懒人思维”，对学好数学乃至任何科目是非常必要的。但“偷懒”并不是说不做，而是不一味死做，是希冀更快更好地做完，是创造力的源泉。
总之，我们鼓励积极进取的偷懒意识，但不提倡消极怠工的偷懒行为。（1）昍爸的数学与思维（第三期）已上线，首发团购特惠活动截止到9月30日，扫码即可参团：![]()
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作者：昍爸，中国科学院计算机博士，大学教授，博士生导师。主持国家自然科学基金4项，在国内外高水平期刊和会议发表论文60余篇。曾获初中和高中全国数学奥林匹克联赛一等奖，江苏赛区第一名，高考数学满分。著有畅销书《写给孩子的数学之美》、《搞定平面几何：辅助线是怎么想出来的》、《给孩子的数学思维课》与《给孩子的数学解题思维课》。关于昍（xuan)爸的其它课程介绍，请看下面几篇文章：
