怎样让孩子摆脱无效刷题的困境?
教育
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2024-10-22 08:11
中国
想学好数学，不做题是万万不行的，但一味死刷题也绝不可取。
有些孩子看似勤奋，花了别人几倍的时间刷了一大堆题，但最后收效甚微，原因就在于刷题不得法。
题海无涯，但时间有限，怎么解决好这两者之间的矛盾，对孩子学好数学乃至其它各科都很重要。刷题方法得当，就能起到做1题顶别人做10题的效果，不仅数学本身容易贯通，而且还能节约下大量的时间用于其它科目的学习，何乐而不为？
想要摆脱无效刷题的困境，需要在题目选择、解题方法和实战演练上予以重视。在题目选择上，学完一个知识点后，做题顺序和做题难度的规划很重要。（1）做题顺序：一是概念辨析，二是计算方法，三是解决问题。
基础不牢，地动山摇。所以，千万不要概念还不清楚就急于开始解决实际问题甚至难题。其实不仅仅是学生、家长，甚至我们的很多教学过程都存在这个问题。比如平面几何的一则定理，可能花在讲解定理的来龙去脉以及证明思想的时间很少，而大量的时间则花在应用定理解决实际问题。这一点，像极了如今本科生和研究生选择毕业设计题目时的人工智能热。几乎所有的学生都会用人工智能做一些应用，但对人工智能的基本原理却一知半解。好在，从最近中高考的趋势来看，越来越强调对概念本质的理解，一些创新题也是从理解新定义的概念开始，比如2024年新高考1卷的“可分数列”压轴题。为了应对这一趋势，很多老师让学生刷所谓新概念定义的题型，最终又演变成了重复刷题，实则完全没有必要。课本上每一次出现的新知识，不都是一次新概念的理解吗？把这一环节搞好，就够了。一是喜欢躺在舒适区，重复刷简单题。在低水平上重复，容易井底观天，盲目自信。这样的学生看似做了很多题，但实际上是做10题抵1题，得不到有效提升。二是看不上基础题，直接挑战难题。这样的做法也不可取，很容易打击自信心和学习积极性。一旦自信心和积极性被挫伤，就容易产生畏难情绪。合适的做法应该是从基础的开始，螺旋上升。按照最近发展区理论，要做自己垫垫脚能够得着的题，这样有助于培养能力，增强自信。要知道，成就感本身也是学习的驱动力之一。题海无涯，解法有道。解一道题，做出答案并不是终点。解题的过程和复盘思考更为重要。如何有效地解一道题，真正起到做1题顶别人做10题的效果？我这里给8点建议。（1）识别问题和观察联想。确定问题所属的知识模块和位置，做到有的放矢。多做这样的训练，有助于把一个个知识点逐步建构成一张四通八达的知识网络。比如，开始解题前，可以多做一些类似下面两篇文章提到的宏观思考。（2）失败是成功之母。相比于正确答案，理解一种方法为什么是错的对问题的认知往往更有帮助。
（3）一题多解。不满足于一种解法。特别是平时做题，至少要求自己每道题给出两种解法。一题多解，从不同角度看问题，有助于把知识点打通，看清问题本质。（4）多题一解。对不同场景的问题定制不同的公式和套路，那是低水平的做法，走不远。找到不同场景问题的共性，尝试用一种解法解决看似不同的问题，才是高水平打法。比如之前在《除法的本质（一）》和《除法的本质(二)》里讨论的用包含除一招解决鸡兔同笼、盈亏、牛吃草问题等，就是这个做法。
（5）分析评价对比。善于对比分析各类解法的共性与不同、优点与局限性。特别是对方法适用性和扩展性的分析，会促使自己追求更好的做法，培养自己追求卓越的品质。（6）切换成出题人角色。通过改变题目条件和场景，做到举一反三。自己出题有助于理解题目中各个条件的关联和约束关系，对问题能有更深刻的理解。如果可能，还可以尝试给别人讲题。
（7）重视复盘。做完题不复盘，功效会大打折扣。不管是自己花时间做出的题，还是没有做出但看答案会做的题，都要注重复盘，思考解题思路得来的线索和形成过程。长期坚持复盘，方能打通任督二脉。
（8）平时刷题求通透，不求短平快。平时按照上面的过程把每道题都搞透，不求快求多。多则少，少则多。慢慢地，速度只是水到渠成的副产品。我一贯的观点: 数学理念和方法不能空谈，一定要以题为载体来谈。光说不练假把式，侃侃而谈的鸡汤和方法看着句句有理，但看完也就完了，实则啥用没有。类似的观点，我在文末”延伸阅读“的几篇好文里都有阐述。下面我还是以一道我在数学思维课（第三期）”运筹与优化“里讲的题为例。如果大家不想看文字讲题，可以直接扫码看课程。一条公路上每隔10千米，建有一个仓库(如图)。共有5个仓库，一号仓库存有10吨货物，二号仓库有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的。现在要把所有的货物都搬到一个仓库存储，以减少人力看管成本。考虑到最近油价飞涨，每吨货物运输1公里要支付5元的运费，那么搬到哪个仓库所需要支付的运费最少？第一次见到这个问题的孩子，基本上99%都会用枚举法。此时，家长们一定不要打断孩子，要给孩子时间，让他们枚举完。全部搬到一：(20×10+40×40)×5=9000全部搬到二：(10×10+40×30)×5=6500全部搬到三：(10×20+20×10+40×20)×5=6000
全部搬到四：(10×30+20×20+40×10)×5=5500全部搬到五：(10×40+20×30)×5=5000可以看到，全部搬到五号仓库需要的运费最少，为5000元，而如果全部搬到一号仓库，则需要9000元，整整多出4000元！可如果有100个仓库怎么办? 难道我们也一个个枚举吗？显然，枚举法不可扩展！对解法可扩展性的追求应该根植于我们的内心深处。有人会发现这个问题是把货物搬到原本存放货物最多的那个仓库，这样最多的那个仓库的货物就不用搬运了，应该可以省下一大笔费用。此时，很多人的脑子里可能会闪过一个初步的猜测：是不是应该搬到本身仓库货物最多的那个？有猜测是好事，千万不要轻易否定孩子。牛顿说过，没有大胆的猜测，就没有伟大的发现。但猜测可能正确，也可能错误。我们鼓励大胆的猜测，但同时要小心求证。
这个猜测对不对呢？检验猜测是否正确的最直观做法就是先用更多的案例来验证。在上面的场景中，假如猜测正确，那应该把所有货物都搬运到六号仓库。
这个方案是不是最优？第一反应依然会用枚举法去计算出搬到每个仓库的费用：(20×10+40×30+50×50)×5=19500(10×10+40×20+50×40)×5=14500(10×20+20×10+40×10+50×30)×5=11500(10×30+20×20+50×20)×5=8500(10×40+20×30+40×10+50×10)×5=9500(10×50+20×40+40×20)×5=10500这时候发现，搬到六号仓库并不是最优的，而是搬到4号仓库最优！当问题的答案跟我们预想的不一样时，打开思维的最好时机就来了。我们总是会好奇这背后到底是为什么。
不妨这么想：如果我们把货物从六号仓库向左边移动一个仓库，总费用会怎么变化呢？我们发现，左边的70吨货物会少搬运10公里，而右边的50吨货物需要多搬运10公里，总费用减少了！如果再往左搬运一个仓库至4号仓库，总费用依然会减少。但如果再往左搬运到三号仓库，那么总费用又会增加，因此这个场景下搬运到四号仓库是最佳的。根据刚才的做法，我们需要进一步调整一下猜测：似乎应该放到一个本身存有货物的仓库，而且它的左右两边的货物重量保持基本平衡。我们不难发现，这个结论是不对的。比如下面的这种场景，本身是对称的，感觉放在中间的三号仓库是合理的。但事实上，这个场景放在二、三、四号仓库的代价是一样的。比如与都搬到二号仓库相比，搬到三号仓库会让左边的30吨货物多搬运10公里，但却让右边的30吨货物少搬运10公里，两者抵消了。因此，我们刚才的猜测结论本身并不严谨，也就是并不一定要存放在本身堆有货物的仓库。为了考虑到底是放在仓库i还是仓库i+1更优，我们不妨让所有的货物从仓库i搬到i+1，然后比较一下所需的费用是增加了还是减少了。当货物从仓库i搬运到仓库i+1时，i及其左边仓库的所有货物多搬了10千米，而i右边（不含i)所有仓库的货物少搬了10千米。因此如果i右边所有仓库（不含i)的货物重量之和比i左边所有仓库(含i)的货物重量之和大，那么放到i+1就是比放到i更优的方案。当然，如果i+1本身为空的，则移动和不移动的代价是一样的。我们先计算出所有货物重量之和为60，60÷2=30。我们发现：3+5+14+6=28<2+7+13+10=32，因此放到第6个要比放到第5个仓库的搬运代价更小。而3+5+14+6+2=30=7+13+10，因此将货物从第6个仓库移动到第7个仓库代价不变。到此，问题并没有结束。从特殊到一般的思考，才能让我们的解题能力得以升华。（2）从左至右逐个累加仓库的货物重量，直到累加的和S第一次≥W/2为止，设此时的仓库编号为k。如果S=W/2, 则把货物搬到k和k+1是一样的。现在，我们已经解决了在有n个仓库，每个仓库都存储有不同重量货物的情况下，最优应该移动到哪一个仓库的问题。但显然还有一个现实问题我们还没有考虑，也就是：如果相邻仓库间的距离不一样会怎样呢？切换成出题人角色，通过改变题目条件和场景，一网打尽所有变式，方能真正做到举一反三。比如，在之前的场景里，如果从左到右仓库间的距离分别为10、20、30、40、50千米，结论会如何？这时候，大部分人的直觉应该是最优方案肯定与距离有关。六号仓库货物最多，与邻居的距离也最远，我们不应该搬它。因此，这一次，总该把货物都存放到六号仓库了吧？虽然前面有了一种方法，但大部分孩子依然会尝试用枚举的方法来验证这个新的猜想。(20×10+40×60+50×150)×5=50500(10×10+40×50+50×140)×5=45500(10×30+20×20+40×30+50×120)×5=39500(10×60+20×50+50×90)×5=30500(10×100+20×90+40×40+50×50)×5=34500(10×150+20×140+40×90)×5=39500答案依然是搬到四号仓库最省，结果再一次否定了我们的猜想！
这个时候，我们就需要再回去看一下刚才的思考过程。也就是为了考虑到底是放在仓库i还是仓库i+1，我们不妨让所有的货物从仓库i搬到i+1，然后比较一下所需的费用是增加了还是减少了。我们发现，在这个比较中，起决定作用的是i仓库左边（包括仓库i）和i仓库右边（不包括i）的货物重量之和，而仓库i与i+1之间的距离对结果没有影响！作者：昍爸，中国科学院计算机博士，大学教授，博士生导师。主持国家自然科学基金4项，在国内外高水平期刊和会议发表论文60余篇。曾获初中和高中全国数学奥林匹克联赛一等奖，江苏赛区第一名，高考数学满分。著有畅销书《写给孩子的数学之美》、《搞定平面几何：辅助线是怎么想出来的》、《给孩子的数学思维课》与《给孩子的数学解题思维课》。关于昍（xuan)爸的课程介绍，请看下面几篇文章：
