没想到引来家长们的热议。
乍一看，很多人以为它与爬楼梯问题一样。所谓爬楼梯问题，长下面这样:
有10级楼梯，每次可以跨1级或2级楼梯，请问从最底下爬到最顶上一共有多少种爬法?
爬楼梯问题的答案是经典的斐波那契数列。具体可以参考我六年前的文章:
但稍微审一下题，就发现两道题并不完全相同。因为最初的题目里有两个特别的要求：
（1）每一步都可以向前或向后走，而在爬楼梯问题里只能往前走；
（2）要求每块垫脚石都要恰好被踩一次，而爬楼梯问题里面没有这个要求。
到底怎么做？
没有思路没关系，从简单的开始嘛！
2块石头，显然只有1种方法；
3块石头，不难验证也只有1种方法；
4块石头，一共有2种方法，具体分析如下：
如果第一步向前走50cm，那剩下的就是3块石头的场景，只有1种方法;
如果第一步向前走1m，那第2步必须回踩，否则就抵达终点了，也只有1种方法。
5块石头，我们仿照4块石头的分析，分为两类：
（1）第一步向前走50cm，此时就面临4块石头的场景（虚线框所示），因此有2种方法；
（2）第一步向前走1m。
此时第2步必须往回踩2号石头。否则如果继续向前，那后面要踩到2号石头只能从4号石头往回走1m实现，但这样到达2号石头后就无法再往前走了（因为3号和4号石头都已经被踩过）。
第2步回踩2号石头后，第3步只能是向前走1m到达4号石头，此时面临的场景与2块石头相同（下图虚线框所示），只有1种方法。
因此，5块石头一共有3种方法。
到这里，大致就应该可以看出整个问题可以用递归思想来解决。
一般化地，对于n(n>4)块石头，我们设方法数为f(n)，则类似于5块石头的场景，按照第一步是向前走50cm还是1m来分为两类，第一类有f(n-1)种方法，第二类则有f(n-3)种方法，因此有：
f(n)=f(n-1)+f(n-3) (n>4)
根据一开始的分析，有f(2)=f(3)=1, f(4)=2
据此，可得序列：
1，1，2，3，4，6，9，13，19，28，41，60
因此，13块石头一共有60种过河方法。
解决这个问题的基本思维方式是递归思维。这是我在数学思维课（第一期）花了好多节课重点讲的一种思维方式。
递归思维是数学和计算机领域极为重要的一种思维方式，体现了许多问题所具备的内在结构美。应用递归思维解决问题，最重要的是发现规模更小但结构相同的子问题，从而一步步把大问题转化为更小的问题，直至初始最简单的问题为止。
但问题是，怎么发现问题的递归结构？
从上面的解题过程可见，这绝不是灵光一现，而是从简单开始尝试，然后观察、发现的自然结果。
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（全文完）
作者：昍爸，中国科学院计算机博士，大学教授，博士生导师。主持国家自然科学基金4项，在国内外高水平期刊和会议发表论文60余篇。曾获初中和高中全国数学奥林匹克联赛一等奖，江苏赛区第一名，高考数学满分。著有畅销书《写给孩子的数学之美》、《搞定平面几何：辅助线是怎么想出来的》、《给孩子的数学思维课》与《给孩子的数学解题思维课》。
