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欧拉线把三角形的“心”都连起来
一、三角形“心”之间的关系
1、外心与重心
设 的外心为 ，则 为 重心的充要条件是
2、外心与垂心
设 的外心为 ，则 为 垂心的充要条件是
外心与垂心还有个关系为（关注微信公众号：Hi数学派）
3、外心、垂心与重心
设 的外心、重心、垂心分别为 、、，则 、、 三点共线 ，且
此线又叫欧拉线 .
对于三角形“心”之间的关系的证明，也就是需要证明欧拉线，那么接下来小π就先来介绍一下欧拉线吧！
二、欧拉线
欧拉线： 三角形的外心、重心、九点圆（欧拉圆）圆心和垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。（且外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半，且九点圆圆心为外心与垂心连线的中点）（关注微信公众号：Hi数学派）
图 4. 欧拉线 莱昂哈德 · 欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。如上图，欧拉线（上图中的黑线）是指过三角形的垂心（蓝）、外心（绿）、重心（黄）和欧拉圆圆心（红点）的一条直线。
其中，三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点（三角形三顶点与垂心连线的中点）九点共圆，称为欧拉圆。
欧拉线的证明
证法一：
已知 ，分别为 的垂心、重心、外心， 为 ， 中点， 为 、 上的垂足。即要证： 在 所在直线上。
连结 ，再连结 。
因为 为 的外心，所以
又因为 ，所以
则
连结 ， 为 的中位线，
则 且 ，
所以
得 ，同理
所以
则
为重心，根据中线性质，
又
结合 得
则
因为 在 上，所以
则
即 、、 三点共线，得证 .
注： 由上述证明过程中，可以得到以下结论
，即 ，
令 中点即九点圆圆心为
则
所以
则
综合概述 ， ，
证法二：（关注微信公众号：Hi数学派）
设 的垂心、重心、外心分别为 。
作 的中点三角形 ，
因为 ，所以 ，
同理 ，
因此 是 的垂心
又 ， ， 且
所以 ， ，
所以 （关注微信公众号：Hi数学派）
又
同理 ，
所以
故 ，
所以
证法三： 如图6所示，设 为 的中线，、 分别是垂心和外心，连接 、，则 ， ，所以
连接 、，易知圆心角等于所对圆周角的二倍，即
所以
（ 是 外接半径）
连接 并延长交 于 ，则
故
设 和 交于 ，则
所以
故 是 的重心，即 、、 三点共线，
且 ，得证 .
从而可由上述欧拉线的证明中得出三角形”心“之间的向量关系，如下↓
1、外心与重心
设 的外心为 ，则 为 重心的充要条件是
2、外心与垂心
设 的外心为 ，则 为 垂心的充要条件是
外心与垂心还有个关系为（关注微信公众号：Hi数学派）
3、外心、垂心与重心
设 的外心、重心、垂心分别为 、、，则 、、 三点共线 ，且
