下面这个问题来自于俱乐部O组的WhatsApp群，和正多边形平面镶嵌有关。
我们将若干个正多边形排列在平面上的一个点周围，使得每一对相邻的正多边形之间既没有空隙，也没有重叠。下图是一个使用两个正方形和三个正三角形实现这种排列的例子：
在这样的排列中，正多边形可能的最大的边数是多少?
平面镶嵌，也被称为平面完美覆盖。所谓正多边形的平面镶嵌，简单来说就是用正多边形将整个平面铺满，其间不留空隙，也不存在重叠。
如果使用单一形状的正多边形，那么我们很容易想到正三角形，正方形和正六边形，将它们一个挨一个地平铺在平面上，这些多边形的边将分别形成正三角形网格、正方形网格和正六边形网格。
如果使用多种正多边形进行平铺，那么存在8种不同的正多边形组合，以及相应的镶嵌图案。下图给出了所有可能的11种正多边形镶嵌图案。第一排的最右一个图案即上题示例中两个正方形和三个正三角形的排列。
假设我们可以将S个正多边形围绕在某个点的周围，实现题目中所要求的排列，其中正三角形的个数为n3，正方形的个数为n4，…，正k边形的个数为nk。因此有，
S = n3 + n4 + … + nk，其中nk ≥ 0，k ≥ 3。
已知正i边形其内角大小为180˚ – 360˚/i，所以如果这S个正多边形可以对这个点的周角进行完美覆盖，那么有
题目所求即在满足上式的条件下，k可以取得的最大值。
先确定S的范围。
因为1/2 – 1/i < 1/2，所以
即，S > 2。
同时对于i ≥ 3，1/2 – 1/i ≥ 1/2 – 1/3 = 1/6，所以
即，S ≤ 6。
综合起来，3 ≤ S ≤ 6。即S可能的取值有3，4，5和6四种情况。
1) S = 6。
这种情况下S取上限，那么i只能取下限3，即正多边形集合由6个正三角形组成，正多边形最大的边数为3。
2) S = 5。
假设在正多边形集合中，4个正多边形都是正三角形，剩下一个正多边形为正k边形。那么，
解得k = 6。
6显然是这种情况下正多边形边数的最大值。因为k要取最大值，1/2 – 1/k取最大值，即要求其他4个多边形的∑(1/2 – 1/i)取最小值，因为i ≥ 3，所以4个多边形都为正三角形时k取最大值。
3) S = 4。
类似地，考虑这种情况下正多边形集合中3个正多边形的∑(1/2 – 1/i)的最小值，此时剩余的那个正k边形边数取最大值。
显然，这3个正多边形不可能全是正三角形，否则∑(1/2 – 1/i) = 3(1/2 – 1/3) = 1/2，而1/2 – 1/k必然小于1/2，不可能实现完美覆盖。
因此，这3个正多边形为2个正三角形和1个正方形时∑(1/2 – 1/i)取最小值：2(1/2 – 1/3) + (1/2 – 1/4)= 7/12。此时，1/2 – 1/k = 5/12，即k = 12。
该正边形集合由2个正三角形，1个正方形和1个正12边形组成，12是这种情况下正方形集合中边数的最大值。
4) S = 3。
假设正多边形集合由1个正三角形，1个正j边形，1个正k边形组成，3 ≤ j ≤ k。
将36分解成两个约数，当k取最大值时，k – 6对应于最大的约数36，j – 6对应于最大的约数1，即k = 42，j = 7。此时正多边形集合由1个正三角形，1个正七边形和1个正42边形组成。
假设正多边形集合中没有正三角形，那么类似地，如果其中两个正多边形是正方形，那么它们的∑(1/2 – 1/i)的最小值为2(1/2 – 1/4) = 1，无解。因此，两个正多边形的∑(1/2 – 1/i)的最小值对应于1个正方形和1个正五边形，即(1/2 – 1/4) + (1/2 – 1/5) = 11/20，那么1/2 – 1/k = 9/20，剩下的一个正多边形是正20边形。
因此，这种情况下k的最大值为42。
综上四种情况，k的最大值即42。
实际上，符合题目条件的正多边形组合一共有17种，如果考虑某些相同组合的不同排列，那么一共有21种。
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