这道组合题来自于2024年中国女子数学奥林匹克竞赛（CGMO）的第5题。
若一个直角三角形可以被两个单位圆覆盖，求该直角三角形面积的最大值。
解决这个问题的思路有很多种，我的思路是从其中一个单位圆的内接直角三角形出发，将其某条直角边延伸，延伸出来的部分同样是一个直角三角形，它需要用另一个单位圆覆盖，从而得到一个不等式，最后用基本不等式或者三角函数最值收官。
以下是解答。
先看一个平凡的引理：若被两个单位圆覆盖的直角三角形面积最大，那么其三个顶点一定位于其中某个单位圆的圆周上。
使用反证法：以下图为例，如果某个非直角顶点A不在圆周上，那么一定可以通过延伸该顶点所在的直角边CA至圆周的交点A'，从而得到一个面积更大的直角三角形A'BC。
另一种情形，以下图为例，如果直角顶点C不在圆周上，那么可以先通过平移或者/和旋转使得一条直角边B'C'成为单位圆的一条弦、再通过延伸另一条直角边C'A'至圆周，从而得到一个面积更大的直角三角形A''B'C'。
基于这个引理，该直角三角形的三个顶点都在某个单位圆圆周上。根据抽屉原理，必然有两个以上的顶点位于同一个单位圆圆周上。
这里同样存在两种情形：
1. 两个锐角的顶点位于同一个单位圆上，即直角三角形的斜边AB为单位圆的一条弦。
因为该弦长AB不大于单位圆直径，所以三角形的直角顶点C一定位于该单位圆的内部或者圆周上，或者将C对斜边AB反射后得到的C'一定位于该单位圆的内部或者圆周上——否则，顶点C处只能形成一个锐角。因此该直角三角形ABC或与之全等的反射直角三角形ABC'可以完全被一个单位圆所覆盖。与可以使用两个单位圆的覆盖相比，显然该三角形不是面积最大的直角三角形。
2. 一个锐角的顶点和直角顶点位于同一个单位圆上，即直角三角形的一条直角边为单位圆的一条弦。
假设这个单位圆为圆O，这条直角边为BC，令另一条直角边AC与圆O的交点为D，斜边AB与圆O的交点为E，CD和BD的夹角为β。
因为∠ACB为直角，所以BD为圆O的一条直径。因此，∠DEB也为直角，三角形ADE也是一个直角三角形。
根据题意，只要三角形ADE同样可以被一个单位圆覆盖，那么就可以保证大三角形ABC可以被两个单位圆覆盖。
因为ADE为直角三角形，所以只需斜边AD不大于2，即可保证它可以被一个单位圆所覆盖。
令AC = d，因为BD = 2，则有
AD = AC – CD
= d – 2cosβ
因此有，d – 2cosβ ≤ 2，即
d ≤ 2 + 2cosβ
d ≤ 4cos2(β/2)
当AD为单位圆直径时取等号。
现在考虑三角形ABC的面积。
SABC = AC ∙ BC / 2
= dsinβ
那么，
SABC2 = d2sin2β
≤ 16cos4(β/2) ∙ 4sin2(β/2)cos2(β/2)
= 64sin2(β/2)cos6(β/2)
当AD为单位圆直径时取等号。
凑一个系数3：
3SABC2/64 ≤ 3sin2(β/2)cos6(β/2)
根据基本不等式，
3sin2(β/2)cos6(β/2) ≤ {[3sin2(β/2)
+ cos2(β/2) + cos2(β/2) + cos2(β/2)]/4}4
= (3/4)4
当3sin2(β/2) = cos2(β/2)，即β/2 = 30° 时取等号。
综上，
SABC ≤ 3√3/2，当β = 60°且AD为单位圆直径时取等号。取等号时，直角三角形及两个单位圆的图形如下图所示。
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