第65届IMO的第一题是一道带有数论意味的代数题。
P1：
求所有实数α，对于任一正整数n，整数 ⌊α⌋ + ⌊2α⌋ + … + ⌊nα⌋ 一定是n的倍数。（注：⌊z⌋表示小于或等于z的最大整数。例如：⌊-π⌋ = -4，⌊2⌋ = ⌊2.9⌋ = 2。）
解题的黄金规则之一，就是从最简单的情形开始尝试。
定义函数f(α, n) = ⌊α⌋ + ⌊2α⌋ + … + ⌊nα⌋。
当α = 0时，
显然对于任一n，f(0, n) = ⌊0⌋ + ⌊0⌋ + … + ⌊0⌋ = 0，一定可以被n整除。所以α = 0是一个平凡解。
当α = 1时，
f(1, n) = ⌊1⌋ + ⌊2⌋ + … + ⌊n⌋ = n(n+ 1)/2。当n为偶数时，(n + 1)/2不是整数，n(n + 1)/2不能被n整除。所以α = 1不是解。
现在考虑整个整数域。
注意到向下求整符号具有以下“整数分离”的特性：如果将向下取整符号内的实数x表示成另一个实数y和一个整数m的和，即x = y + m
那么有，⌊x⌋ = ⌊y + m⌋ = ⌊y⌋ + m
考虑f(α, n)和f(α + 2, n)，
f(α + 2, n) = ⌊α + 2⌋ + ⌊2(α + 2)⌋ + … + ⌊n(α + 2)⌋
= ⌊α⌋ + 2 + ⌊2α⌋ + 4 + … +⌊nα⌋ + 2n
= f(α, n) + n(n + 1)
对于任一n有，f(α + 2, n) ≡ f(α, n) (mod n)。
这意味着，如果α是一个解，那么α + 2也是一个解；反之，如果α不是一个解，那么α + 2也不是一个解。
换句话说，“f(α, n)总能被n整除”这一命题是否成立对于α来说具有周期性，其周期为2。
因此，对于实数域中的α，我们只须讨论α 在[0, 2)这个周期单位区间内解的情况。
我们已知α = 0是一个解，而α = 1 不是一个解，以下证明α在(0, 1)和(1, 2)这两个区间内不存在其他解。
1. α位于区间(0, 1)内，对于任一给定的α，一定存在某个足够大的正整数n ≥ 2，使得
1/n < α < 1/(n – 1)
令α = 1/n + ε，其中ε 为正数且小于α所在取值范围的大小，即，
0 < ε < 1/(n – 1) – 1/n = 1/[n(n – 1)]
考察f(α, n) = ⌊1/n + ε ⌋ + ⌊2(1/n + ε)⌋ + … + ⌊n(1/n + ε)⌋。
当1 ≤ k < n时，第k项
k(1/n + ε) = k/n + kε < k/n + k/[n(n – 1)] = k/(n – 1) ≤ 1 (式1)
所以⌊k(1/n + ε)⌋ = 0
而最后一项 ⌊n(1/n + ε)⌋ = ⌊1 + nε⌋ = 1。
所以f(α, n) = 1。1不能被n整除，因此区间(0, 1)内不存在解。
2. α位于区间(1, 2)内，令α = 1 + α'，这样0 < α' < 1，类似地，对于任一给定的α'，一定存在某个足够大的正整数n ≥ 2，使得
1 – 1/(n – 1) < α' < 1 – 1/n
令α' = 1 – 1/n – ε = 1 – (1/n + ε)，同样ε 为正数且小于α'所在取值范围的大小，即，
0 < ε < 1/(n – 1) – 1/n = 1/[n(n – 1)]
这样，
f(α', n) = ⌊α'⌋ + ⌊2α'⌋ + … + ⌊nα'⌋
= ⌊1 – (1/n + ε)⌋ + ⌊2 – 2(1/n + ε)⌋ + … + ⌊n – 1 – (n – 1)(1/n + ε)⌋ + ⌊n – n(1/n + ε)⌋
= ⌊1 – (1/n + ε)⌋ + ⌊2 – 2(1/n + ε)⌋ + … + ⌊n – 1 – (n – 1)(1/n + ε)⌋ + ⌊n – 1 – nε)⌋
当1 ≤ k < n时，第k项
k – k(1/n + ε) < k
且根据 (式1)，
k – k(1/n + ε) > k – 1
所以，⌊k – k(1/n + ε)⌋ = k – 1
而最后一项n – 1 – nε < n – 1，所以
⌊n – 1 – nε⌋ = n– 2
因此，
f(α', n) = 0 + 1 + … + n – 2 + n – 2
= n(n – 1)/2 – 1
这样，
f(α, n) = f(1
+ α', n)
= 1 + ⌊α'⌋ + 2 + ⌊2α'⌋ + … + n + ⌊nα'⌋
= n(n + 1)/2 + f(α', n)
= n(n + 1)/2 + n(n – 1)/2 – 1
= n2 – 1
显然有，
f(α, n) ≡ -1 (mod n)
所以f(α, n)不能被n整除，无解。
综上，α = 0是区间[0, 2)内的唯一解。
根据周期为2的特性，偶数是α在实数域中所有的解。
总结：α在区间(0, 1)和(1, 2)的两种情况实际上可以归结于同一种情况，只不过随着n的增大，在(0, 1)中我们使用1/n和1/(n – 1)从区间右侧来夹逼α；而在(1, 2)中我们使用2 – 1/(n – 1)和2 – 1/n从区间左侧来夹逼α。对两个区间的求解过程殊途同归。
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