伟大的数学家在解决问题时，通常不仅仅满足于解决一个特定的、具体的问题，而是有一种本能，想要将他们的解法扩展到更广泛的情况中去。也就是说，如果他们在某个特定情境下找到了一个解决方案，但发现这个解决方案同样适用于其他类似的情境，他们就会感到强烈的欲望，去修改或重新编写他们的解法，使其可以应用于更多的情况。这样的思维方式和能力，能够把特定问题的解法提升到更普遍、更抽象的层次，是成为一个优秀数学家的重要标志。
用一个例子可以说明这个问题。
假设有七根杆，长度分别为1、2、3、4、5、6和7个单位。你能计算出在不放回的情况下，任意选择三根杆，它们的末端能触碰在一起，形成一个非简并三角形（即面积不为零的三角形）的概率吗？
对这个特定问题的解答
因为这些杆需要在不放回的情况下选择，我们可以假设任意三根杆将具有不同的整数长度，这意味着三角形的边将是a, b和c，其中a > b > c > 0。以下是一个简单的示意图，
现在，我们可以很容易地看出，为了形成一个非简并三角形，必须满足b + c > a的条件，因为如果b + c < a，将根本无法形成一个三角形，而如果b + c = a，将得到一个简并的三角形。
因此，我们可以通过简化为以下问题来推动解题：在前七个正整数中，有多少三元组(a, b, c)满足这些条件：
a > b > c
b + c > a
通过一点探索，可以发现，满足这种三元组存在的最小a值是a = 4，我们可以继续进行如下系统计算：
如果a = 4，（b, c）= (3, 2)
如果a = 5，（b, c）= (4, 3)或(4, 2)
如果a = 6，（b, c）= (5, 4)或(5, 3)或(5, 2)或(4, 3)
如果a = 7，（b, c）= (6, 5)或(6, 4)或(6, 3)或(6, 2)或(5, 4)或(5, 3)
这告诉我们，有13种组合的杆可以形成非简并三角形。要回答这个问题，只需要知道从七根杆中选择三根杆的所有组合数量。这可以简单地计算为：
因此，从任意选择的三根杆中形成非简并三角形的概率为13/35。
让我们推广一下
在我们上面所做的过程中，数字7没有什么特别之处。例如，我们能否找到一个表达式，用于处理有任何奇数根杆2N + 1可以选择的情况，每根杆的长度为1、2、3、……、2N + 1？让我们采用与之前相同的方法，但只是稍微抽象一点。
假设a是选择的最大杆。那么：
b不能大于整数a-1
b不能小于整数a/2 + 1，假设a是偶数，否则c会大于b
b不能小于整数(a + 3)/2，假设a是奇数，否则c会大于b
让我们遍历这些情况，看看能为(b, c)确定多少种组合。首先，来看a是偶数的情况：
因此，当a是偶数时，可能的组合总数为1 + 3 + 5 + …… + (a-3)，这是一系列奇数之和。
类似地，下面是a为奇数的情况：
因此，当a是奇数时，可能的组合总数为2 + 4 + 6 + …… + (a-3)，这是一系列偶数之和。
现在，我们可以考虑a的每一个可能值。从之前的例子中知道，最小的组成非简并三角形可能的a值是a = 4。因此，可以通过从a = 4开始，到a = 2N + 1结束，并使用上面为奇数和偶数情况推导的公式，来绘制出可能的非简并三角形的总数：
现在把所有这些加起来，但是看看每一行的情况。如果我们观察每一行的情况，每一行构成了对每个偶数的和。1+ 2，1+2+3+4，1+2+3+4+5+6，一直到1+2+3+4+……+2(N-1)。换句话说，我们可以将总和表达为：
对于括号中的部分，可以利用这个公式，
总和表达式可以简化为：
现在，前n个平方数的和是n(n+1)(2n+1)/6。因此，我们可以利用这一点进一步简化表达式，如下所示：
现在，我们有一个表达式，可以用来计算从2N+1根杆中选择三根杆形成非简并三角形的总数。正如我们之前的例子中所做的那样，为了得到概率，现在只需要知道从2N+1根杆中选择三根杆的所有可能组合数量，这个数量为：
最后，只需将这两个数相除，来计算出我们选择的任意三根杆可以形成非简并三角形的概率：
验证结果
我们早些时候计算出，在七根杆的情况下，概率是13/35。我们可以通过将N = 3代入上面的表达式来验证这一点，计算结果为(2 ⨉ 13)/(2 ⨉ 35) = 13/35。这样就得到了验证！
我们还可以写一些代码来找出我们选择任意奇数根杆时这种概率：
# function to calculate probabilitydef prob_triangle(n: int) -> float:return ((n-1)*(4*n+1))/(2*(4*(n**2)-1))# determine some probabilities for the case of 7, 11, 21, 201 and 2000001 rodsfor n in [3, 5, 10, 100, 1000000]:print(prob_triangle(n))0.371428571428571440.424242424242424250.4624060150375940.49624990624765620.499999625
可以看到，随着杆的数量变得非常大，选择的三根杆形成非简并三角形的概率有一个0.5的极限，这在我们计算最终表达式并计算其N → ∞的极限时也是显而易见的。
