今天，有一位网名为JO的读者朋友给我留言，指出在《向下取整与无尽的质数》一文中存在错误。
在对vn + 1 < vn这一结论的推导中，原文使用了如下证明过程：
第一行的不等式来自于伯特兰-切比雪夫定理；
第二行不等式是对第一行不等式的进一步推导；
第三行不等式是对第二行不等式取以2为底的对数得出的结果；
第四行不等式是对第三行不等式继续取n次以2为底的对数得出的结果。
JO指出：在第三行不等式中，pn的下标不是n + 1，所以对该不等式继续取n次以2为底的对数后，对数的真数部分为pn + 1，而不是pn + 1 + 1，所以无法直接得到vn + 1。
非常感谢这位朋友的指正！
我思考了一下，发现这个证明可以由伯特兰-切比雪夫定理的右半部分开始，即原文中的不等式1的右半部分：
两边同时减1，得到
根据原文，p1可以任取，所以不妨取p1 ≥ 5。
那么，对于任意n ≥ 1，pn都是一个奇数，pn + 1都是一个偶数。因此，
由pn ≥ 5，(pn + 1)/2 – 1 ≥ 2，所以上式右边为两个大于1的自然数的乘积，它不可能为一个质数。
因此有
即，
对这个不等式两边取n + 1次以2为底的对数，即可得到
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