本文来自哈兰（Harlan Brothers）在Medium上的博客文章，在这篇文章中他介绍了在九十年代末、二十一世纪初自己如何从一名音乐家成为一名发表了专业论文的数学家的故事。
今年正好是分形先驱、数学家本华·曼德布洛特（Benoit Mandelbrot）诞辰100周年，而哈兰与本华也有一段学术交集。受本华的影响，哈兰穷尽十年时间追索各种“分形音乐”，他认为巴赫的《勃兰登堡协奏曲》第一首以及《大提琴无伴奏组曲》第三首都有典型的分形，他自己也写了一些“分形音乐”，简直可以说走火入魔。这一切，可能都起源于哈兰在某一个夜晚无意中的涂涂画画。
“我不知道我在世人眼中是什么样子，但对我自己来说，我似乎只是一个在海边玩耍的男孩，不时地寻找比平常更光滑的鹅卵石或更漂亮的贝壳来取乐，而真理的海洋却在我面前未被发现。” ——艾萨克·牛顿
我从来不是一个数学天才。我认识一些高中生，他们数学好得不可思议，对他们来说，理解抽象概念就像数罂粟花的花瓣一样容易。可惜我不是他们中的一员，虽然我做得还行，但我犯过一些粗心的错误，必须经过努力才能更正。不过值得庆幸的是，我从来没有害怕过这门学科。
深夜娱乐
20 世纪 90 年代即将结束，在一个平凡的夜晚，我手拿笔记本和铅笔躺在床上，女友在我旁边熟睡。这听起来可能很奇怪，但为了放松心情，我开始思考如何用一种另类而独特的方式来表达每个数字。
我考虑过探索数字的根，但只用纸和笔的话，这似乎不大容易实现。相反，我尝试将每个正整数乘以自己的幂，即nn。我注意到这个整数序列增长得非常快：
n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | … |
nn | 1 | 4 | 27 | 256 | 3125 | 46656 | … |
我想知道我是否能找到一个函数来描述这种快速的增长率。当我将nn的每个值除以这个整数序列中的前一个值时，我发现一个由nn 生成新的序列：
这个非整数序列似乎以相对恒定的速度增长。
在进一步的探索后，我发现随着n 的增大，我的公式的值接近自然常数e的值，该值约等于 2.71828182818459……。我将我的公式命名为幂比值法（PRM）。
和更著名的π一样，e是一个超越数，出现在数学和物理学的各种公式中。这两个常数都是无限不循环小数，可以近似为任意位数的有限小数。
我将我的公式与经典的自然常识极限公式进行了比较，经典公式可以追溯到 17 世纪雅各布·伯努利对复利的探索，它通常被称为e的极限定义：
在对两个公式极限收敛的速度进行比较后，我有点兴奋——我的公式收敛似乎比经典公式要快速得多。但有一个问题：我是一名音乐家，曾在伯克利音乐学院学习作曲和爵士吉他——我没有接受过正规的大学数学教育。我对对数或者微积分知之甚少，也不认识任何可以联系的数学家。
伸出援手
我决定写一篇简短的论文来描述我的研究结果，其中包括一些表格和图表。由于不知道该怎么做，我把这篇短文发给了全国公共广播节目《科学星期五》的主持人Ira Flatow以及《科学美国人》的一位知名数学家。
我从未收到《科学美国人》的回复，不过，我与《科学星期五》的交流却促成了我与多才多艺的气象学家约翰·诺克斯（ John Knox）富有成效的合作。当时，他的妻子帕姆恰好在节目中实习，她看到我的信件后与大学数学专业毕业的约翰分享了我的论文，想看看他的想法。
约翰使用麦克劳林级数对我的公式进行进一步理论验证。下面即 PRM 的麦克劳林级数展开：
这是一个二阶近似，意味着我们近似中预期的误差量随着n的平方而减少。
和经典公式相比，我们的公式以及随后发现的两种新方法收敛的速度更快。
约翰和我成为了亲密的朋友，我们一起发现了二十多个新公式。在接下来的两年半里，我们发表了两篇关于我们的方法的论文。
这项工作颇受好评。《科学》杂志和《科学新闻》期刊都报道了我们的发现，我们收到了来自世界各地的教师和学生的电子邮件。我们的方法随后通过一本流行的微积分教科书《拉森的微积分》进入了大学的标准微积分课程。出乎意料的是，第二篇论文被数学家罗恩·拉森、罗伯特·P·霍斯特勒和布鲁斯·H·爱德华兹选为美国数学协会期刊上五十篇最佳微积分文章之一。
回到学校
我对从约翰那里学到的东西很感兴趣，并且渴望学习更多，因此我决定回到学校学习数学。由于费用低廉且距离较近，我选择了 Gateway 社区学院。我没想到我的教授竟然是出色、乐于助人、引人入胜的米格尔（Miguel Garcia）。米格尔用一个深思熟虑的建议进一步改变了我的人生轨迹。
在初尝成功的鼓舞下，我开始投入数学研究，开始与当时还是研究生的塞巴斯蒂安·韦登斯基 （Sebastian Wedeniwski）交流。塞巴斯蒂安后来创下了一项世界纪录，他计算出了e的前 869,894,101 位数字（作为参考，目前的纪录是31,415,926,535,897 位数字）。他对我们的解析近似表示了兴趣，并向我精确解释了从计算角度来看哪种级数表达式更有用。
不久之后，我根据牛顿和欧拉的工作，提出了一系列这样的表达式。我继续在《大学数学期刊》上发表了这种推导e无穷级数的新方法。这些表达式包括用于近似这个自然界核心常数的最快速收敛级数。以下是一个例子：
我应该补充一点，虽然在同行评审期刊上发表文章令人兴奋，但这个过程并不适合那些没有耐心或敏感的人。虽然每本期刊都有自己的特点，但总的来说，同行评审的世界竞争激烈、要求严格，而且往往缺乏想象力。
即使你的论文被接受，你通常也必须通过回应一位或多位审稿人的批评来为它辩护，这些审稿人的评论可能非常鼓舞人心、有帮助，也可能傲慢无礼，甚至离题万里。等到编辑回复你的投稿，你成功地与审稿人协商了可能的编辑，文章终于出版，传统期刊的这个过程可能需要一年多的时间。开放获取期刊提供了更快的出版流程，但要求作者承担出版费用。
最重要的是，如果你从结果中得到启发，并且有时间和精力以清晰、简洁和令人信服的方式呈现它们，那么这一切都是值得的。据我所知，参与这个过程的智力严谨性有助于你成为你所在领域的专家。
意外发现的作用
在我的非同寻常的旅程中，每一次转折似乎都与意外的惊喜有关。牛津词典对意外的惊喜一词的定义是“偶然发生的事件以一种令人愉快或有益的方式发展”。我喜欢这个词本身，因为它不仅仅是历经岁月演变而来的拉丁语或希腊语同源词。1754 年，这个词诞生于作家兼文人贺拉斯·沃波尔的脑海中，他创造了这个词来捕捉经典波斯童话《塞伦迪普的三个王子》的精神。
当约翰还在 NASA 的戈达德太空研究所工作时，他写了一篇有趣的文章，描述了我们见面时的情景，题为“ Serendipit-e ”。那天晚上，我拿着笔记本和铅笔踏上了一条不可思议且不可预测的道路，在出版并随后重返学校后，这条道路又一次发生了偶然的转折。正是我前面提到的教授兼导师米格尔把我介绍给了他在耶鲁大学的前导师本华·曼德布洛特。本华随后的友谊和支持又进一步改变了我的人生轨迹。
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