英国巴斯IMO已经闭幕半个多月了，一些代表队陆续发布了其比赛报告。
今天，新西兰数学奥林匹克竞赛官网上发布了今年几名队员写的比赛总结，其中队员Jay Zhao的总结中提到了一道关于三角形完美覆盖的问题。蛮有些意思，问题摘录如下：
是否存在这样的三角形，它可以被13块与之相似、且互相全等的小三角形所完美覆盖？
所谓完美覆盖，指的是被覆盖物所有部分均被覆盖，覆盖物互相之间不重叠，且覆盖物无多余部分伸出被覆盖物。
完美覆盖问题也可以表述为形状的拆分，比如上面这个问题也可以表述为：
是否存在这样的三角形，它可以被拆分为13块与之相似、且互相全等的小三角形？
这个问题的关键点在于13这个数字，它看上去有些特别，不仅不是一个平方数，它还是一个质数。
我们退一步，先考虑：
是否存在这样的三角形，它可以被拆分为n2块与之相似、且互相全等的小三角形？
这个问题要容易多了，看到n2，可以自然地想到将每条边都等分为n份。
为什么呢？
假设原始三角形的面积为S，因为小三角形互相全等，大三角形被拆分为n2个小三角形，所以小三角形的面积s必然等于S/n2。
又因为等分点连线与大三角形边之间的平行关系，小三角形与大三角形相似，所以如果它们之间的边长比为1:n，那么它们之间的面积比就会等于1:n2。
因此，如果一个大三角形需要被拆分为n2块小三角形，那么我们无须加入任何其它条件，即：任何一个三角形都可以被拆分为n2块小三角形。
具体方法为，在三条边上各自取n分点，然后通过连接对应的n分点将大三角形拆分为n2个互相全等的小三角形，且每个小三角形都与大三角形相似。
下图是n = 4，任意三角形拆分为16个全等小三角形的例子。
再回到拆分成13块的问题。
13不是一个平方数，所以无法用上面的方法得到答案。
不过，注意到：13 = 4 + 9 = 22 + 32。
那么是不是可能先将大三角形拆分为两个中等的三角形，然后再将两个中等的三角形等分为4个和9个小三角形？
因为两个中等三角形的拆分块数分别为4和9，所以它们的面积之比应为4:9，而相应地，大三角形的面积为13。
另一方面，因为相似三角形的面积之比为边长之比的平方，所以两个中等三角形以及大三角形的边长之比应为2:3:√13。
而这个比例恰恰可以是一个直角三角形的三个边长的比例。
因此，我们可以猜测，两条直角边之比为2:3的直角三角形即问题的解。
假设直角三角形的两条直角边边长分别为2和3，那么其斜边长为√13。
现在我们需要将大直角三角形先拆分为两个中等直角三角形，因为对应边边长比例为2:3:√13，所以两个中等直角三角形的斜边边长分别为2和3。
如何通过拆分，将大直角三角形长度为2和3的直角边转变为中等直角三角形的斜边？
很自然地，我们可以想到利用斜边上的高。
如上图所示，AB为直角三角形DBA的斜边，CA为直角三角形DAC的斜边，CB为直角三角形ABC的斜边，它们三者的长度之比为2:3:√13。
接下来，我们利用前述n2块拆分的方法，利用2等分点及其连线将三角形DBA等分为4个斜边长为1的小直角三角形，利用3等分点及其连线将三角形DAC等分为9个斜边长为1的小直角三角形。
这样，如下图所示，三角形ABC便被等分为4 + 9 = 13个斜边长为1的小直角三角形，它们互相全等，且与三角形ABC相似。
我们可以将这个问题推广到任何可以表示为a2 + b2的正整数N：
如果正整数N可以表示为两个正整数a和b的平方和，那么两条直角边边长比为a:b的直角三角形可以被拆分为N块与之相似、且互相全等的小三角形。
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