在本文的上两篇【1，2】中，我们以一个简单的小学问题开头，接着解决了一个有些难度的概率问题以及这个概率问题的一般性问题，分析了尽管秒针的角速度远大于分针和时针的角速度，但表盘上发生的追及问题仍然是一个离散问题，而不是一个连续问题，这使得我们不得不考虑这毫厘般的差异对我们从直觉上得到的结果造成的影响。
在下面这一篇文章中，我们继续以一个例子来说明和体会离散问题和连续问题的区别。
这是一个相当古早的竞赛问题。根据我能搜索到的线索，它最早来自于1994年俄罗斯莫斯科数学竞赛8年级组的第5题，或者1993年同一个竞赛8年级组的第四题。30多年过去了！
题目大意是这样的：
假设表盘上的时针、分针和秒针绕同一个轴旋转且不跳动，如果三根表针位于表盘某根直径的同一侧，那么宫廷占星术士将这个时刻称为幸运时刻。请问：在一天中，幸运时刻比较多，还是不幸运时刻比较多？
作为一道面向8年级（初中2年级）学生的竞赛题，这个问题的难度还是合适的，因为所求的并不是定量的概率，而是定性的多与少。
这道题的解答如下：
1. 任意两根表针可以用它们的延长线定义一个不幸运扇形（下图阴影部分），当第3根表针位于这个扇形内时则是不幸运时刻。很显然，这个扇形的角度不可能大于180°。
2. 对于任意时刻表盘上三根表针的位置，在整数个小时的时间后，秒针和分针将回到原来的位置，只有时针的位置会发生变化。
3. 因此，对于任意一个不幸运时刻，6个小时后将是一个幸运时刻。因为此时秒针和分针位置不变，而时针旋转了180°，从不幸运扇形进入了幸运区域。
4. 同时，对于某些幸运时刻，6个小时后仍然是一个幸运时刻。比如，3:00:00到3:00:05这个区间，在6个小时后对应于9:00:00到9:00:05这个区间，两个区间都是幸运时刻。
综上，一天之内，任意一个不幸运时刻都有一个幸运时刻与之相对应，而并不是每一个幸运时刻都对应于一个不幸运时刻，因此，幸运时刻要多于不幸运时刻。
同时我们注意到，这道题的表述是严谨的，因为它在题干给出表针的旋转是连续而不跳动的。
所以，如果我们保持这个连续问题的条件，进一步问：一天之内幸运时刻的概率有多大？
这个问题比8年级的这道题要稍微难一些，我们从定性走向了定量。
注意到，假设三根表针的长度相同，在幸运时刻三根表针都位于表盘某根直径的同一侧，即三根表针都位于某一个半圆内，那么因为外侧两根表针在外侧的弧长大于180°，所以这三根表针的端点将形成一个钝角三角形；反之，在不幸运时刻，任意两根表针在外侧的弧长都不大于180°，所以这三根表针的端点将形成一个锐角三角形。
所以，这个问题也可以转换成：
对于任意三角形，它是一个钝角三角形的概率有多大？
注意，这里我们保留了连续问题的条件。
关于这个问题，我们曾经在文章《钝厚锐薄》【3】中介绍过好几种方法，得出的结论是：一天之内幸运时刻，或者任意三角形是钝角三角形，其概率为3/4。对具体证明方法有兴趣的读者朋友，请移步该文章。
下面，我们进入难度升级的问题：
如果表针的旋转不是连续的，而是严格地按照特定的时间间隔进行跳动，那么三根表针同时位于表盘的某个半圆中的概率是多少？
对于这个离散问题，我们可以简单地挪用连续问题的答案3/4吗？恐怕不可以，因为我们在本文的前两篇中已经体会到了连续问题和离散问题之间存在的差别。
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以上草稿完成于2024年3月，然后我就把它给忘记了……
直到前几天，差不多上一稿的半年之后，有位读者朋友在微信上联系我。
这是2013年AMC 12A的第20题【4】：
对于z < y < x的情形，这道题的Solution 2给出了一个公式：
因为x， y和 z呈轮换对称形式，即除了z < y < x以外，还对称地存在y < x < z和x < z < y的情形，因此最终的答案是285 ∙ 3 = 855。
那么，对于z < y < x的情形，如何去理解上面这个公式？这就是这位朋友的问题。
我把这个问题的背景转换成为了一个表盘：该表盘上均匀地分布着1 - 19这19个数字——类似于一个以19个小时为进制的时间系统。而x，y和z则类似于三根随意跳动的表针，它们的移动非连续，只能由一个数字跳到另外一个数字。因为表盘上只有19个数字，所以这三根表针移动的“离散度”是相当严重的。
根据题意，
0 < x – y ≤ 9
0 < y – z ≤ 9
x – z > 9
因为9/19 < 1/2，这意味着表针z到y之间顺时针形成的弧为劣弧，表针y到x之间顺时针形成的弧为劣弧，同样，表针x到z之间顺时针形成的弧也为劣弧。
换句话说，三条弧都小于180°，即三根表针顶端形成的三角形为一锐角三角形。
如果我们套用表针连续旋转的结论，那么在19个数字所有可能形成的C(19, 3)个三角形中，锐角三角形的个数占1/4，对应于(19 ∙ 18 ∙ 17 / 6) / 4 = 242.25个。
为什么不是285？甚至为什么不是一个整数？
这就是表针连续旋转和有间隔跳动带来的区别。在本题中，两个相邻的数字之间相差360°/19，这个间隔比较大，所以在这个表盘的19个数字中任意选择3个数字，其位置连线形成的三角形是锐角三角形的概率与1/4也存在较大偏差。
回到如何理解Solution 2中这个公式的问题上来。
假设我们将z固定在1的位置，那么x最小为11（否则形成钝角三角形）。
当x = 11时，y可能的位置为2、3、…、10共9种；
当x = 12时，同样因为yx是劣弧，y可能的位置为3、…、10共8种；
……
当x = 19时，y只有可能等于10，共1种可能。
所以，如果z = 1，那么一共有9 + 8 + … + 1 = 45种可能。
同样因为xz是劣弧的原因，z的最大值为10。所以z可能的取值为1、2、…、10。
对于每一个z的取值，我们可以简单地认为通过旋转表盘都可以得到45个解。
具体地来说，对于k = 1、2、…、9，当z = k + 1时，我们可以通过将z = 1时的每一组解(xi, yi, 1)中的每一项都加上k，从而得到新的一个解(xi + k, yi + k, k + 1)。
但是，在其中部分解中，xi + k的值超过了19，所以必须扣除这部分伪解。
对于z = k + 1，x在19 + 1、19 +２、…、19 + k等k个情形下有伪解。
其中，
当x = 19 + k时，y只有1个取值，对应1个伪解；
当x = 19 + k - 1时，y有2个取值，所以对应2个伪解；
……
当x = 19 + 1时，y有k个取值，一共对应k个伪解。
因此，对于z = k + 1，合计存在1 + 2 + … + k = k(k + 1)/2个伪解。
因为k的取值范围为1 - 9，所以存在伪解的个数一共为
从45 ∙ 10中扣除这个数字后我们即可得出正确答案。
这位读者朋友没能理解这个解法，很有可能是被C(k + 1, 2)这个组合数的写法给误导了，其实它只是表示1 + 2 + … + k，和从k + 1中选2并无直接关系。
不过，我们前面提出的难度升级的离散问题在本文中仍然没有得到解答。我把这个解答放在下一篇（下 ∙ 二）中，这也是我给本文取了个怪异的标题的原因。
参考出处：
1. 失之毫厘，谬以千里（上）
2. 失之毫厘，谬以千里（中）
3. 钝厚锐薄
4.https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2013_AMC_12A_Problems/Problem_20
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