今天，在某论坛上看到这么一道问题，很有些意思。
证明存在某个实数r，使得
全都是质数。
在这个问题中，因为⌊2r⌋是一个质数，且r显然不等于1，所以有2r > 2，因此
是一个严格递增的数列。这个数列中的每一项都是一个不同的质数，数列无穷，所以它表示的质数个数也无穷。
早在古希腊时代，欧几里德就证明了自然数中存在着无穷多个质数。
19世纪末被证明的素数定理描述了质数在自然数中分布的大致情况，即随着数字的增大，质数出现的密度逐渐降低。如果用π(x)表示不大于x的质数的个数，那么随着x的增大，π(x)逐渐趋近于x/ln(x)。
虽然素数定理在较大范围内对质数的分布给出了一个统计规律，但质数本身出现的位置并没有呈现出显著性的规则。也就是说，当一个很大的自然数N被确定为质数时，你无法通过这个信息预测出下一个质数出现的位置，它可能出现在N + 2的位置上（即孪生质数），也可能出现在离N较远的位置上。
在上面问题中，每两项之间的差别在于前者是后者的2的幂次。这给了我们一个启发：质数的分布是否可以和2的幂次有关？
很幸运，我们确实有一个定理与此分布有关，这就是伯特兰-切比雪夫定理（Bertrand–Chebyshev theorem）。
强伯特兰-切比雪夫定理的表述为：对于正整数n > 3，在n和2n – 2之间必然至少存在一个质数p。
弱伯特兰-切比雪夫定理的表述为：对于正整数n > 1，在n和2n之间必然至少存在一个质数p。换句话说，即对于任意正整数n > 1，至少存在一个质数p，满足n < p < 2n。
如果我们用2n替代n，那么可以得到：至少存在一个质数p2，满足2n < p2 < 4n。
进一步，用4n替代n，得到：至少存在一个质数p3，满足4n < p3 < 8n。
……
这样，对于任意正整数n > 1，我们都可以得到一个质数数列pi，满足2i– 1n < pi < 2in，其中1 ≤ i。
当n = 2时，有质数数列pi，满足2i < pi < 2i + 1，其中1 ≤ i。（数列1）
你看，这就是一个以2的幂为边界的质数数列，是不是已经很接近答案了？
下面给出这个问题的具体证明。
任取一质数p1，在数列1中令i = p1，那么存在质数p2满足
类似地，在数列1中令i = p2，存在质数p3满足
依此类推，可以得到对于n = 1, 2, …，根据数列1，必然存在质数数列pn满足
定义两个以2为底数的嵌套对数un和vn：
其中，对数符号上的(n)表示嵌套n层的对数。即，
对不等式1取2为底数的对数，得到：
对不等式2取n次以2为底数的对数，得到
因为un + 1 < vn + 1，
又因为
即un是一个严格递增数列而vn是一个严格递减数列，因为un < vn，所以当n趋于无穷大时，两个数列都存在极限值。
令
类似地，定义以2为底数的嵌套幂：
根据极限值，有un < r < vn。
对此不等式进行n次以2为底数的幂运算，得到
exp(n)un < exp(n)r < exp(n)vn
即，
pn < exp(n)r < pn + 1
那么
⌊exp(n)r⌋ = pn
因此，对于n = 1, 2, …和任一质数p1，当r取un在n趋于无穷大时的极限值时，⌊exp(n)r⌋都是一个质数。
证明完毕。
往期精彩文章：
数学科普：
数学竞赛：
数学教育：
数学文化：
敬请关注“唯思客俱乐部”，分享、点赞、在看我们的文章：
