这道几何题来自于2024年中国女子数学奥林匹克竞赛（CGMO）的第4题。
如图，在给定的△ABC中，AB < BC < CA。D为BC边上的动点，E在△ABC的外接圆上，满足∠BED = ∠BAD。过D作AB的垂线交AC的延长线于点F。求证：∠BEF是定值。
看到∠BED = ∠BAD，第一眼的想法是把这一对相等的角转换到同一侧，这样可以形成一组四点共圆。
因此，如何找到A点的一个对称点可能是解题的一个关键。
不难发现，A点的对称点可以通过两种方法找到：一是A点关于DF的对称点，二是A点关于BC的对称点。
利用A点关于DF的对称点A’的方法有个优点，那就是△ADA’和△AFA’都是等腰三角形；这个方法的缺点是因为D是一个动点，所以A’同样是一个动点。
利用A点关于BC的对称点A’的方法有个类似的优点，那就是△ABD和△A‘BD全等；而且，因为BC是一条固定的边，所以A’也是一个固定的点。
我们的解法采取第二种方法。
令A’为A关于BC的对称点，G为FD延长线和AA’的交点。连接A’B，A’D，A’E，GE。
因为对称性，∠BAD = ∠BA’D。
又因为∠BED = ∠BAD，所以∠BED = ∠BA’D，BA’ED四点共圆。
同样因为对称性，AA’垂直于BC。
又因为FG垂直于AB，所以∠BAA’ = ∠GDB。
出于对称性又有∠BAA’ = ∠BA’A，所以∠BA’G = ∠GDB，BA’DG四点共圆。
因此，BA’EDG五点共圆。
由上述共圆关系，∠EBD = ∠EGD。
由ABEC四点共圆，∠EBD = ∠EAC。
所以，∠EGD = ∠EAC，EFAG四点共圆。
所以，∠AGF = ∠AEF。
回到BA’EDG五点共圆，有∠AGF = ∠A’ED。
综上，∠AEF = ∠A’ED = π – ∠A’BD = π – ∠ABC。
由ABEC四点共圆，∠AEB = ∠ACB。
所以，∠BEF = ∠AEF + ∠AEB = π – ∠ABC + ∠ACB，为一定值。
证明完毕。
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