出现局末平分时，谁获胜的概率更大？
8月3日，中国21岁的女子网球选手郑钦文延续了其在本届奥运会上的神勇表现，她在女子单打决赛中以6-2/6-3直落两盘击败克罗地亚名将维基奇，在其职业生涯中首次拿下奥运会单打金牌，这也是中国网球奥运历史上的首枚单打金牌。
第一盘的第三局是郑钦文的发球局，已经两局落后的维基奇发起了猛烈的反攻，双方打成40-40的平分（deuce），其后的几分双方互有胜负、多次回到平分，最后郑钦文顶住压力，成功拿下自己的发球局，3-0的局分为她以6-2拿下第一盘打下了坚实的基础。
同一天，中国乒乓球女选手孙颖莎和陈梦在女子单打决赛中相遇，陈梦以4-2的局分获胜，成为又一位蝉联奥运会单打冠军的女子乒乓球选手，而孙颖莎则未能如愿成为又一位集奥运会、世锦赛和世界杯冠军于一身的大满贯选手。
有意思的是，在这场巅峰对决中双方的状态似乎都有起伏，往往看到双方轮流连续得分，而你一分我一分、交替领先的激烈场面并未出现。因此，所有的6局都未出现“爆分”，即每局比赛都以常规的11分结束，并未出现局末10-10平分、需要加赛决胜分的情况。
8月4日，中国女排将迎来小组赛的最后一个对手塞尔维亚女排，塞尔维亚女排是两届世锦赛冠军，是一个实力非常强劲的对手。可以预见，这场小组赛将会非常激烈，很可能在局末形成需要加赛2分决胜的情形。虽然中国队已经确保出线，但为了得到一个更有利的淘汰赛位置，希望朱婷带领的女排姑娘们能够发挥出色，以三战三胜的成绩结束小组赛事。
从以上三项比赛我们可以看出，不少体育比赛在规则上都有类似约定：如果在局末的领先优势不到2分，那么领先的一方往往需要获得额外的决胜分，以净胜2分的优势来确保在这一局的胜利。
在网球中，如果双方达到40-40，这个比分被称为平分，双方需要加赛2个决胜分。在加赛中领先1分的一方被称为“占先”（advance），比分牌变成AD-40，占先的一方只须再赢得一分即可获得本局的胜利。如果占先的一方输掉了下一分，那么局面重新回到平分，比分牌上也回到40-40，双方再次争夺2个决胜分。
类似地，如果在乒乓球的局末出现10-10这个比分，或者在排球的局末出现24-24这个比分，比赛双方都需要加赛，领先一方必须净胜2分才能获得本局的胜利。和网球略有不同的是，乒乓球和排球赛场上比分牌的分数会随之增加，比如在本届奥运会乒乓球女子单打1/4决赛中，孙颖莎和郑怡静在第3局中就打出了19-17的高比分；而在多米尼加和荷兰女排争夺小组出线的关键一战中，最后一局也出现了28-26这样的比分。
罗嗦了这么些，下面我们来讲重点：在面临局末平分时，发球的选手获胜的概率有多大？
网球是一项和数学有着千丝万缕联系的体育项目。在2010年温布尔登网球赛上，两位男子单打选手伊斯内尔和马胡进行了一场至今网球史上历时最长的比赛，整场比赛用了三天才完成，历时11个多小时，前四盘的比分为6-4，3-6，6-7，7-6，第五盘进入长盘赛，最后比分为70-68。英国的菲尔茨奖获得者、数学家蒂姆·高尔斯 （Timothy Gowers）曾经对这场比赛进行过研究，他的结论是像这样的比赛每200年才会出现一次。
不过，随之温网于2019年废除了长盘制，高尔斯或许需要调整自己的判断，历时11个小时的网球比赛今后可能再也不会出现了。
我们拿网球比赛作为一个例子，来讨论发球的选手在出现平分时最终获胜的概率。
假设两位选手分别为A和B，本局是A的发球局，比分来到了平分40-40。同时假设A赢得每一分的概率为p，在我们的简化模型中，p是一个和比分、选手状态和心态无关的定值（虽然在现实中这个概率受到了很多因素的影响）。
下面将决胜分加赛的过程抽象为一个马尔可夫链构成的数学模型。
这个数学模型有5种状态，其中A获胜和B获胜是两个终止状态，表示本局比赛结束，其他三个状态是中间状态，状态之间的转移概率分别为p和1 – p ，分别表示A得分和B得分。
另外，我们用PD，PA-AD和PB-AD分别表示在平分，A占先和B占先状态下A赢得本局比赛的概率。我们的目标是求出PD。
根据上面的这个马尔可夫链模型，根据转移概率，三个概率之间有以下转移关系：
PD = pPA-AD + (1 – p)PB-AD
PA-AD = p + (1 – p)PD
PB-AD = pPD
具体解释为：
在平分状态下，A最终赢得本局比赛有两种可能，即下一分他得分，进入A占先状态，或者下一分他输分，进入B占先状态，进入两种状态的概率分别为p和1 – p。
在A占先状态下，A最终赢得本局比赛也有两种可能，即下一分他得分，直接赢得此局，或者下一分他输分，回到平分状态，进入两种状态的概率也分别为p和1 – p。
在B占先状态下，A最终赢得本局比赛只有一种可能，即下一分他得分，回到平分状态，进入此状态的概率为p。如果A输掉1分，那么B就赢得此局，因此这种可能下A取胜的概率为0。
联立以上三个等式，解得
PD = p2/(2p2 – 2p + 1)
如果A和B双方在这一局中都没有优势，即p = 1/2，那么PD = 1/2，即A和B赢得这一局的概率也相同。
实际上，在网球比赛中发球的一方多少拥有一些优势，所以一般来说，p > 1/2。
我们把PD的公式改写一下：
PD = p2/(2p2 – 2p + 1)
= 1/[(1/p – 1)2 + 1]
这样，当p 位于(1/2, 1]这个区间，即1/p位于[1, 2)这个区间时，分母中的二次项 (1/p – 1)2 关于p递减，因此，PD关于p递增。
如果我们将这个函数画出来，那么它将如下图中的蓝色曲线所示。
从图中可以看出，当A赢得1分的概率增大，那么他赢得这一局的概率也随之增大。比如，如果p = 0.6，那么PD ≈ 0.69；如果p = 0.75，那么PD ≈ 0.9。
从这个数学模型得出的结论与网球比赛中的实际情况基本相符，即发球质量高的选手在平分后守住自己发球局的概率相应较大，而发球质量低、得分能力不足的选手在平分后被破发的概率也不小。
那么这个模型是不是可以用于乒乓球和排球比赛局末平分时取胜的概率计算呢？
当然可以。不过需要注意的是，这三项运动在特点和规则上都有所不同。
对于网球来说，不论比分如何，每一局的发球选手都是固定的，所以上述模型的状态转移概率只有p和1 – p两种。另外，出于网球运动的特点，发球的一方优势较大，所以p一般都是一个大于1/2的数值。
对于乒乓球来说，当局末出现平分后，两位选手改为轮流发球，所以上述模型中我们需要用p和q两个变量来分别表示A发球和B发球时赢得1分的概率，用1 – p和1 – q 两个变量来分别表示A发球和B发球时输掉1分的概率，因此模型相对复杂一些。此外，虽然乒乓球发球一方具有一定优势，但其优势远没有网球发球一方的优势那么大，所以乒乓球模型中相应的p和q的数值也比网球模型中的p的数值要小一些。
对于排球来说，情况又有所不同。排球的发球方是上一分的得分方，因为同样需要用p和q两个变量表示发球方赢得1分的概率。同时，因为占先状态下的发球方一定是占先方，所以排球的状态转移模型比乒乓球的模型要稍微简单一点。不过，排球的发球并不一定是一个优势（瓦尔加斯除外），因为对方一攻的成功率相对较高，排球的发球甚至会成为一个劣势，所以排球模型中的p和q数值可能都在1/2附近，其数值比乒乓球模型中的两个概率更小。
离中国女排和塞尔维亚女排的比赛还有几个小时，有兴趣的读者朋友可以试着建立一个排球状态转移模型，作为赛前娱乐消遣一下。
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