第65届IMO的第四题是一道几何题，作为P4，它的难度不高，但也算是合适的。
P4:
三角形ABC中AB < AC < BC，其内心和内切圆分别为I和ω。X为BC上不同于C的一个点，满足过X平行于AC的直线与ω相切。类似地，Y为BC上不同于B的一个点，满足过Y平行于AB的直线与ω相切。AI再次交三角形ABC的外接圆于P ≠ A，K和L分别为AC和AB的中点。
求证：∠KIL + ∠YPX = 180˚。
这道题的一个显著的着手点是两条平行于三角形两边的切线。不妨把这两条切线延伸开来，与三角形两条边形成一个平行四边形（因为AI是角平行线，实际上形成了一个菱形）。
解答如下：
令过X的ω的切线交AB于E，过Y的ω的切线交AC于F，两条切线相交于Q。
连接BQ、CQ、BP和CP。
因为EQ平行于AC，FQ平行于AB，所以EAFQ是一个平行四边形。同时，该平行四边形的四条边皆为ω的切线，且AI是角平行线，所以EAFQ是一个菱形。
出于对称性，ω的圆心位于该菱形的对角线AQ上，即A、I、Q三点共线，且I为AQ的中点。
因为K为AC的中点，I为AQ的中点，所以KI平行于CQ，∠KIA = ∠CQA。
同理，∠LIA = ∠BQA。
所以，∠KIL = ∠CQB。
因为PCAB四点共圆，∠BCP = ∠BAP。
由AB平行于QF，有∠BAP = ∠AQY。
所以，∠YCP 与∠YQP互为补角，QYCP四点共圆。
因此，∠YPQ = ∠YCQ。
同理，∠XPQ = ∠XBQ。
在三角形BCQ中，∠CQB + ∠YCQ + ∠XBQ = 180°。
所以，
∠KIL + ∠YPQ + ∠XPQ = ∠KIL + ∠YPX = 180°。
证明完毕。
总结：通过平行四边形/菱形找到A关于I的对称点Q是比较明显的，然后利用中线定理将∠KIL平移到∠CQB，最后利用三角形的外接圆和两组平行线证明两组四点共圆，将待证明的三个角移动到同一个三角形内。
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