“ 相信光吗”
【数学家的一封信】
1775年，数学家法尼阿诺的一封信说到：“给定边长的三角形，每边上取一点，什么时候这三点组成的三角形周长最短，其最短值为多少？”
【命题推广】
对于给定边长的三角形，每边上各取一点（可与顶点重合），这三点的两两距离之和（可以不构成三角形）最短为多少？
本命题覆盖了法尼阿诺信中的最短周长的内接三角形，本文对此进行阐述。
01
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固定一个点的探索
控制变量法，我们先在一条边上固定一个点D：
1）此时联想到光线的反射或者将军饮马；
2）做D关于AB的对称点和关于AC的对称点；
3）连接D1D2；
4）假设与AB、AC有交点，其交点为E、F；
5）没有两交点的情况见02节分析；
6）那么△DEF就是最短周长三角形；
7）证明如下：
AB和AC边上任意取一点，包括顶点：
两点之间线段最短，即D1D2距离最短，
所以△DEF周长最短。
02
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是否有交点
1）不妨设∠A为△ABC中的最大角；
2）因为对称性：
∠DAE=BAD1，∠DAF=CAD2
所以∠D1AD2=2∠A
3）所以当∠D1AD2≥180°时，即∠A≥90°时：
D1D2与线段AB、AC没有两个交点；
4）即∠A为锐角时，有两交点；
5）即△ABC为锐角三角形时，存在两交点；
6）因此我们将分别讨论锐角△和非锐角△。
03
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锐角三角形
1）释放D点，让其在BC上运动，包括顶点；
2）使用对称作法，均可得到最短距离；
3）我们要在这些最短距离集中寻求最短；
4）即在一群将军饮马中，找到最短距离；
5）因为对称性：
AD1=AD=AD2，所以△AD1D2为等腰三角形
取D1D2中点G；
∠DAE=BAD1，∠DAF=CAD2
所以∠D1AD2=2∠A；
所以∠D1AG=∠A；
所以D1D2=2AD*sinA
6）因此AD越小，D1D2也越小；
7）最短的AD为边BC上的高；
8）所以D点为垂足为所求；
9）根据对等原则，E和F也应该为垂足；
10）证明如下：
因为对称性：
∠ADE=∠AD1E=∠AD2E=∠ADF；
又AD⊥BC， 所以∠BDE=∠CDF；
又∠BDE=∠BD1E，
所以∠CDF=∠BD1E，
因此四边形BD1FD共圆，
所以∠D1BD=∠DFD2，
又根据对称性：
∠DBE=1/2*∠D1BD， ∠CFD=1/2*∠DFD2
所以∠DBE= ∠CFD，
因此四边形AFDB共圆，
所以∠AFB= ∠ADB=90°，
所以∠CDF= ∠A
又∠BDE=∠CDF，
所以∠BDE=∠A
因此四边形AEDC共圆，
所以∠AEC= ∠ADC=90°
因此E、F为垂足，证毕！
11）计算这个最短距离：
根据5）最短距离L=2h*sinA；
已知△ABC的边长为a、b、c；
根据海伦公式可得△ABC的面积S：
S=[p(p-a)(p-b)(p-c)]^1/2
又1/2*a*h=S，可得：L=4S*sinA/a；
根据正弦定理：a/sinA=2R，R为外接圆半径；
所以：L=2S/R
计算外接圆半径R：
因为S=1/2*ab*sinC，
根据正弦定理：c/sinC=2R
可得：sinC=c/2R，
因此S=abc/4R
R=abc/4S
代入上式可得最短距离：L=8S^2/abc
04
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非锐角三角形
1）不妨设∠A≥90°；
2）在BC线段内，固定D点（可与B、C重合）；
3）让E、F两点分别在线段AB、AC上移动；
4）存在如下情况：
4.1）E和F都运动到A点：
此时的三点距离和：L=2AD；
4.2）E运动到B点，F运动到C点：
此时的三点距离和：L=2BC；
4.3）E和F都运动到线段内，不与顶点重合：
此时的三点距离和：L=DE+EF+DF；
5）证明：AD<BC
∠ADB与∠ADC中必有一个角≥90°，
所以AB和AC中必有一边大于AD，
又BC>AB，BC>AC，
所以AD<BC，证毕。
6）证明：2AD<DE+EF+DF
作D点关于AB对称点D1，关于AC对称点D2，
∠D1AD2=2∠A，所以∠D1AD2≥180°，
线段D1D2在△ABC外部(∠A=90°时，过A点)，
延长D1A与D2F交于G，
D1E+EF+FG>D1G=D1A+AG
AG+D2G>AD2
两式相加：D1E+EF+FD2>AD1+AD2=2AD
即2AD<DE+EF+DF，证毕。
7）综上可得：三点距离和最小值=2AD；
8）当AD⊥BC时，AD最小；
9）因此三点距离和最小值为高的2倍；
10）三条高里面，最长边上的高最小；
11）所以三点距离和最小值：L=2h=4S/a
05
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结论
1）如果为锐角三角形：
三点距离和的最小值为垂足三角形的周长，
L=8S^2/abc；
2）如果为非锐角三角形：
三点距离和的最小值为最长边上高的2倍，
L=4S/a，其中a为最长边的边长。
3）法尼阿诺信中的三角形必须是锐角三角形，否则，就不存在周长最小的内接三角形。
