今年夏天，新闻上看到新疆多处发生洪水，洪水发生区域包括横跨塔克拉玛干沙漠的塔里木河、上游的叶儿羌河以及阿克苏河流域。
夏季沙漠中突发洪水并不罕见，现在还很难说，全球变暖可以推动雨带持续西移或北移，使得西北地区大片的沙漠、戈壁及黄土高坡重新成为温润气候下的再造良田。不过，400毫米等降水量线在历史上具有非常重要的意义。
根据国家气象局的资料，近几年来，400毫米等降水量线确实存在逐年向西移动的趋势。长序列的历史研究显示，我国历史上400毫米等降水量线的波动往往带动着适农区和非适农区的边界随之移动，处于农牧交错带的土地使用发生变化，从而引起游牧文明与农耕文明在南北和东西方向交替演进。
400毫米等降水量线是农耕区和游牧区的分界线，而著名的“胡焕庸线”则代表着人口密度和经济发达程度的分界线。从地理上看，除青藏高原东段以外，胡焕庸线和400毫米等降水量线基本重合，揭示了气候与人口密度以及经济形态的高度相关性。
2020年400毫米等降水量线与胡焕庸线。
胡焕庸线，又称黑河—腾冲线，是一条贯穿中国版图的假想直线段。该线从中国东北边境的黑龙江省黑河市（旧称瑷珲）一直延伸到中国西南边境的云南省腾冲市，大致划分出了中国人口在区域上的分布，体现了中国人口东南和西北的分布区域之悬殊差异。
这条假想中的边界线于1935年由地理学家胡焕庸首次提出，他根据1933年的人口分布图与人口密度图，提出了此概念。在该年《地理学报》第二期发表的《中国人口之分布》一文中写到：
自黑龙江之瑷珲向西南作一直线，至云南之腾冲为止，分全国为东南与西北两部：则此东南部之面积，计四百万平方公里，约占全国总面积之百分之三十六；西北部之面积，计七百万平方公里，约占全国总面积之百分之六十四。惟人口之分布，则东南部计四万万四千万，约占总人口之百分之九十六；西北部之人口，仅一千八百万，约占全国总人口之百分之四。
因为七十年来版图的变化以及人口的增长，根据2000年的人口数据，按照胡焕庸线计算，东南部占全国国土面积43.8%、总人口94.1%；西北部则占总面积56.2%、总人口5.9%。中国人口在东南和西北两个区域的分布差异仍然十分悬殊。
看着地图，我突发奇想：胡焕庸线基本上平分了现在中国的国土面积，如果不考虑人口，转而考虑中国大陆部分的边界线和海岸线，即大陆部分的“周长”的话，胡焕庸线是否也近乎平分了这个周长？
根据维基等数据源，中越陆地边界长度约为1281公里；中老边界长度约为505公里；中缅边界长度约为2129公里；中印、中不边界总长度约为2700公里（因未定边界较长，且争议较多，取平均值）；中尼边界长度约为1389公里；中阿边界长度约为76公里；中塔边界长度约为477公里；中吉边界长度约为1063公里；中哈边界长度约为1783公里；中俄边界长度约为4209公里；中蒙边界长度约为4630公里；中朝边界长度约为1420公里。中国大陆海岸线长度约为18000公里。
黑河近于平分中俄边界，而腾冲近于三分中缅边界，其中腾冲以西北占1份，腾冲以东南占2份。因此胡焕庸线西北部边界总长约为14900公里，东南部边界加上大陆海岸线长度共计约24700公里。
结果与我的想象偏差不小，可能因为海岸线崎岖，东南部的“半周长”要超出西北部“半周长”大约2/3。
那么对于任意封闭曲线，是否存在一条直线平分其面积，同时也平分了其周长呢？
不妨把这样的曲线称为等分线，我们先来看一道某训练营的入门题：
一条直线l与三角形△ABC相交，将其分为两个部分，两部分的周长和面积各自相等。令I为△ABC的内切圆圆心，证明I位于直线l上。
该题中的l即我们上面定义的等分线：对于任意三角形，求证其等分线一定经过其内心。
三角形内心有很多性质，其中一个即可以利用内切圆半径，将三角形周长和面积联系起来。
假设三角形内切圆半径为r，周长为p，那么，
S△ABC = S△AIB + S△BIC + S△CIA = AB ∙ r/2 + BC∙ r/2 + CA∙ r/2 = pr/2
利用这个性质，我们通过反证法来证明上面这道入门题。
假设等分线l交三角形于P和Q两点，PQ不经过I。连接PI，QI。
考虑两组三角形，一组为△AIQ和△AIP，另一组为△BIP，△BIC，和△CIQ。
因为l为等分线，所以△ABC的周长被等分，即
AP + AQ = BP + BC + CQ
两边同时乘以r/2，得到
S△AIP + S△AIQ = S△BIP + S△BIC + S△CIQ （式1）
即上述两组三角形的总面积相等。
然而，同样因为l为等分线，根据定义有
S△APQ = S△PIQ + S△BIP + S△BIC + S△CIQ （式2）
式1和式2相减，得到，2S△PIQ = 0。
这意味着P、I、Q三点共线，与PQ不经过I的假设矛盾。
因此，三角形的等分线一定经过其内心I。
那么反过来，是不是所有经过三角形内心I的直线都是等分线呢？
这个推论显然不成立。
假设AB > AC，∠A的平分线交BC于D。
根据角平分线性质，BD/CD = AB/AC。所以BD > CD，进一步，S△ABD > S△ACD。
因此，AD这条线尽管经过内心，但不是等分线，因为△ABD的周长和面积都要大于△ACD。
至此，我们已经证明了：直线对三角形周长和面积的等分是该直线经过三角形内心的充分条件，但不是必要条件。
同时，根据上面的证明，我们可以得到以下推理：经过三角形内心的直线，如果它等分了三角形的周长，那么它同时也一定等分了该三角形的面积；或者反过来，如果它等分了三角形的面积，那么它同时也一定等分了该三角形的周长。
注意，这里“经过三角形内心”是一个必要条件。比如，不等腰三角形底边上的中线可以等分三角形的面积，但不能等分三角形的周长；在底边中点的附近找到一个点，可以使得顶点和该点连线等分三角形的周长，但此时分割得到的两个小三角形面积又不相等了。
实际上，任意三角形都存在等分线，但一个三角形最多只存在三条等分线。有兴趣的读者可以自行尝试证明。
下面，我们来考虑四边形。
四边形和三角形的一个显著不同，是四边形有了凸性的概念，即四边形有凸四边形和非凸/一般四边形的区别。
非凸四边形是否一定存在等分线？答案是否定的。
我们来构建一个特殊的四边形。假设ABC是一个边长为d的等边三角形（实际上任意三角形都可以），在BC的延长线上找到一个点D，在AB的延长线上找到一个点E，使得CD远大于△ABC的周长，而△BDE的面积远小于△ABC面积的一半。
这显然是可行的，只要CD足够大，同时BE足够小，例如CD = N ∙ d，而BE = d / N2，其中N是一个非常大的数（比如108），我们就可以满足以上两个条件。此时，CD >> 3d，且
S△BDE ~ √3/2 ∙ BD ∙ BE / 2 ~ √3/4 d2/N << S△ABC / 2 = √3/4 d2 / 2
在下面的示意图中，为了表示清楚，N取值大约为3。
假设AC的延长线交DE于F。现在考虑直线与凹四边形ACDE的两个交点P和Q。
因为DF ~ CD，CD + DF ~ 2CD >> 6d；而CA + AE + EF~ 3d，所以CD + DF的长度非常接近于凹四边形的整个周长，如果P和Q的连线等分凹四边形的周长，那么只存在两种可能的情况：
1. P和Q都位于线段CD或DF上。在这种情况下，
S△DPQ < S△BDE << S△ABC / 2 < S△ACDE / 2
2. P和Q中有一个交点不在线段CD或DF之上，不妨设P位于线段CA、AE或者EF上。因为PQ等分凹四边形的周长，且CD远大于CA + AE + EF，所以Q点必然非常接近于D点，因为P和Q是直线和凹四边形的两个交点，所以P只能位于线段BE或EF上。此时，类似于情况1的推导，我们可以得出在PQ分割出的两块面积中，不包含点A的那一块面积必然远小于凹四边形面积的一半。
因此，不论在哪种情况下，PQ都不可能等分凹四边形的面积。
所以，并不是所有凹四边形都存在等分线。
那么对于任意凸四边形，是否一定存在等分线呢？
任意三角形都有内切圆，但任意四边形不一定存在内切圆，所以内心这个性质恐怕用不上。我们转而考虑利用函数的连续性和零值定理。
对于一个凸四边形，甚至可以一般化到任意凸多边形，或者凸封闭曲线，我们先在该封闭曲线上任意找到一个定点P，然后考虑一个动点Q从P出发，以逆时针方向沿该封闭曲线移动，直至回到P点，用时为T。
定义C为封闭曲线的周长，函数s(t)为t时刻、动点Q已经遍历的PQ之间的曲线长度，以及函数
f(t) = s(t) – C/2
易知，
s(0) = 0，s(T) = C
所以，
f(0) = - C/2，f(T) = C/2
因为动点Q在曲线上的移动是连续的，所以s(t)和f(t)在t的区间[0, T]上都是连续函数。
因为f(0)和f(T)异号，根据零值定理，区间[0, T]中一定存在着某个时刻t'，使得f(t') = 0。在此时刻，PQ之间的曲线长度恰好为整个曲线周长的一半。
这证明了，对于凸封闭曲线上的任意一点P，一定存在一个对应点Q，使得PQ等分该曲线的周长。
现在，我们将P和Q都看作动点。
定义P点的起始点为P0，Q点的起始点为Q0，P0Q0之间的曲线长度等于周长的一半。
考虑P点从P0出发，以逆时针方向沿曲线移动到Q0的过程，用时为T。在此过程中的任意时刻t，Q点相应地以逆时针方向沿曲线移动，使得PQ始终等分该凸封闭曲线的周长。
类似地，我们定义A为封闭曲线的面积，函数a(t)为t时刻、以逆时针方向PQ之间的曲线和线段PQ所围成的面积，以及函数
g(t) = a(t) – A/2
因为动点P和Q在凸封闭曲线上的移动是连续的，所以a(t)和g(t)在t的区间[0, T]上都是连续函数。注意，这个条件对于非凸曲线不成立！
例如，在下图所示Pac-Man形状的非凸曲线中，P点继续逆时针移动到P'，Q点将移动到Q'，此时线段P'Q'没有完全位于封闭曲线内部，即直线和曲线将形成多于2个交点，使得PQ之间的曲线和线段PQ所围成的面积变化不连续。
在初始时刻，如果a(0) = A/2，我们就已经找到了这条等分线。
否则，不妨设a(0) < A/2，即g(0) < 0。
注意到在时刻T，P和Q的位置恰恰和初始时刻下的位置互换，所以
a(T) > A/2，即g(T) > 0。
因此，g(0)和g(T)异号，同样根据零值定理，区间[0, T]中一定存在着某个时刻t'，使得g(t') = 0，即a(t') = A/2。
在此时刻，PQ不仅等分曲线的周长，且等分曲线的面积。
因此，任意凸封闭曲线都至少存在一条等分线。
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