群论确实由许多不同类型的群组成，其中有五个基本群在理论上非常重要，并且为理解更复杂的群结构提供了基础。为了说明每个群是如何构建的，我们需要从对称性（symmetry）开始。对称性是指一个物体在经过某些操作后仍保持不变的性质。
以海星为例，每转72度，它看起来和之前相同。为了推广这种概念，需要设立三个条件。
首先，识别物体中所有相似的部分，并赋予它们一个编号。
其次，尝试找出可以对该物体执行的操作，这些操作可以重新排列编号的部分，同时占据相同的空间。这些操作可以是旋转、翻转、平移或反射等。它们的共同特点是不会改变物体的整体形状或尺寸，只是重新排列了物体的编号部分，并确保物体仍然占据相同的空间。
第三，列出所有可能的组合。
这在数学上不是很实用，所以移除矩形，只显示注释。
这个图从讨论“物体在空间中的特定排列或状态”转换为讨论操作。虚线箭头显示的是垂直翻转，而实线表示水平翻转。
我们可以进一步简化它，不是用完整的短语，而是选择颜色和节点。这些终点被称为节点。的第一个节点是起点节点，标记为N。
箭头变成了线，虽然缺少箭头头部，我们仍然称之为箭头。蓝色代表水平翻转，结束于B节点，红色代表垂直翻转，结束于R节点。我们知道，每次表示关系时都不会使用图表，实际上以代数方式表达它。再次看图，发现RB等于BR，两者都结束在RB节点。因此，更简洁地表示为RB=BR。
显然这是一个非常简单的例子，但这里有一个非常重要的点，我们刚才画的是一个群，它的可视化，更具体地称为克莱因4元群（Klein-4，记为V4）。顺便提一下，所有的节点都是它的元素，所以当我们说N是V4的元素时，表达为
克莱因四元群属于阿贝尔群家族（abelian groups），但在深入讨论它们之前，我们需要了解一个更基本的群家族，称为循环群（cyclic groups）。它们是最基本的，因为它们只有旋转对称性，这意味着对循环群只能做一件事，那就是旋转它。
循环群通常被命名为C_n，n是元素的数量或它们的阶。通常我们会给一个节点分配一个恒等元“零”，因为旋转一个有n个叶片的螺旋桨n次会回到起点，这实质上等同于从未旋转过。
因此，在代数上，C_5表示为这样：
每次旋转都朝我们选择的方向（不能是两个方向），
在这个例子中，每个群的元素都是通过反复加一生成的，但数字不会无限增加，达到n后会回到零，这就是所谓的模加法（modular addition）。
如果用凯莱表（Cayley table）来表示这一点，
会清楚地看到类似2+3=0或4+3=2这样的情况。正如之前提到的，其他群族可以从循环群构建而成。因此，为了理解这一点，我们需要理解如何在其他类型的群中找到循环群。
考虑这个图S_3，
蓝色的箭头表示旋转或r。如果从单位元素e开始，会看到在外部描绘出一个与C_3完全相同的轨迹。这个术语称为r的轨道，它们通常像集合一样写在一起。
所有的循环群都是阿贝尔群，这自然引出了阿贝尔群家族。实际上，阿贝尔群可以从循环群构建而成。阿贝尔群是指那些操作顺序无关紧要的群。回想一下我们之前的V_4例子，如果R和B是阿贝尔群中的两个操作，那么操作R后再操作B，结果与先操作B再操作R相同，这表示为RB=BR。这个读作R与B可交换，因此阿贝尔群是可交换的。
这在视觉上可能显而易见，但如果看看这两个非常相似的图，
其中一个是D_4，另一个是C_2×C_4。仔细观察会发现，对于D_4，先蓝色再红色，和先红色再蓝色得到的节点不同，
因此RB不等于BR，但另一个群则相等。
在凯莱表中它们也很容易识别，因为它们几乎是彼此的镜像。
如果你将表沿对角线对折，接触到的元素是相同的。
循环群只能展示旋转对称的物体。那么如果想旋转它并将其翻转呢？有适合这种情况的群吗？有的，这就是二面体群（Dihedral groups），它可以旋转和翻转。二面体群描述的物体也具有双边对称性，这意味着它们在反射时看起来相同。它们通常写作D_n。
我们在C_n中能做的所有操作也可以在D_n中进行，因为它涉及旋转。但由于D允许翻转，因此D_n中的操作数量是C_n的两倍。在二面体群中，每种可能的旋转都有一种可能的翻转。取一个等边三角形并给所有的角编号，
我们可以旋转它，这相当于C_3的旋转，这个顺时针的旋转可以称为r，C_3副本就是r的轨道。但我们也可以通过翻转三角形得到另外三个位置，将总数提升到六个。
D_n图的外环是r的轨道，是循环群C_n的副本，它们顺时针旋转。内环也是旋转，但为逆时针旋转。f操作连接内环和外环。
乘法表清楚地显示了这一点，我们可以将其分为四个非常明确的象限。
在这个D_5的例子中，可以称它们为“翻转”和“未翻转”。
到目前为止，我们主要讨论了形状，但如果想要重新排列群的元素会怎样？这些重新排列属于我们将讨论的最后两个群族：对称群和交替群。它们是构建群的完美工具，因为它们满足群的四个条件：
它们有一组预定义的永不改变的操作，
每个操作只有一种解释，
连续执行的一系列操作也是一个操作，
并且每个排列都是可以逆转的。
还记得之前提到的S_3吗？S代表对称，S_n代表n个事物的所有排列构成的群，或称为对称群。S3是我们迄今遇到的唯一对称群，它很小，但随着n的增大，它们变得更加引人注目。它们的规模增长非常快，S_n中的n是阶乘。超过S_5后，凯莱图表变得非常难以绘制。但S_4仍然可以很好地排列。S_4有四个元素，所以有24种可能的排列。红色箭头表示排列“2到4，4到3，3到2”，蓝色箭头表示排列“1到2，2到1”。
尽管元素的集合可以形成一个群，但创建排列群并不一定需要取所有给定大小的排列。仍然可以使用S_n的一部分排列形成一个群。一种方法是通过交替群，它只取S_n中一半的元素，但不是随机的一半。交替群A_n由S_n中的偶排列组成。举个例子，
它展示了S_3中每个排列在平方时的行为。当我们对一个排列平方时，实际上是将它连续应用两次。“1”是恒等排列“1 2 3”，或简单记作“id”。将其平方意味着id ○ id = id，因此结果是恒等元素。
接下来是两个元素的交换，例如交换元素1和2，平方它意味着
这等于恒等元，因为交换两次会抵消交换，因此它仍然是恒等元，所以它是一个奇排列。2和3交换也是同样的道理。
第五和第六行的排列产生了两种不同的换位
先“1 2”，再“2 3”，因此它是偶排列。最后一个也是偶排列。因此，在6个可能的排列中，我们得到了三个，交替群A_3。
在凯莱图中，交替群的排列是对称群排列的一半。例如，交替群A_4排列在一个截顶四面体上，而这是S_4的截顶八面体的一半。
这一切引出了凯莱定理，它指出，群论的所有内容都可以在排列中找到。
凯莱定理（Cayley's Theorem）是群论中的一个重要定理，表明每一个有限群都同构于某个对称群的一个子群。换句话说，任何群都可以通过某种方式表示为对称群（即排列群）的一个子群。这意味着每个群的元素可以看作是对一些集合的元素进行排列的置换。
