第65届IMO第二天试题

文摘   2024-07-18 00:02   比利时  


最后还是安排了P4几何,P5组合,差点儿意思。

先上英文版:

以下是个人翻译的中文版本,与官方的中文版本在用词上可能存在一定差异:

P4

三角形ABCAB < AC < BC,其内心和内切圆分别为IωXBC上不同于C的一个点,满足过X平行于AC的直线与ω相切。类似地,YBC上不同于B的一个点,满足过Y平行于AB的直线与ω相切。AI再次交三角形ABC的外接圆于P AKL分别为ACAB的中点。

求证:KIL + YPX = 180˚

P5:

蜗牛透平在一个2024行、2023列的棋盘上做游戏。棋盘上有2022个格子里藏有怪物。最开始,透平不知道怪物们所在的位置,但他知道除了第一行和最后一行外,每一行都有且只有一个怪物,且每一列最多有一个怪物。

从第一行到最后一行,透平进行了一系列的尝试。在每次尝试中,他选择从第一行的任意一个格子出发,不断移动到和当前所在格子具有共同边的相邻格子中。(他也被允许回到之前到达过的格子。)如果他到达了一个里面藏有怪物的格子,他的本次尝试就此结束,他被送回到第一行以重新开始新的尝试。怪物们不会移动,而且透平记住了所有他达到过的格子中是否藏有怪物。如果他到达了最后一行中的任何一个格子,那么他的本次尝试结束,游戏终止。

求正整数n的最小值,使得不论怪物们的位置在哪里,透平都可以通过某个策略确保他最多通过n次尝试就可以到达最后一行。

P6

为有理数集合,称函数f: 温泉女神,如果对于所有x, y 都满足:

f(x + f(y)) = f(x) + y 或者f(f(x) + y) = x + f(y)

证明存在一个正整数c,满足对于任意温泉女神函数f,最多存在c个形如f(r) + f(-r)、互不相同的有理数,其中r为有理数。且求满足上述要求的c的最小值。

最后一题中用到的aquaesulian应该是向巴斯当地的古罗马温泉浴场Aquae Sulis致敬。

总体上来看这一届题目不算难,但也没有特别弱智的阳光普照题,先给PSC一朵小红花,后面几天慢慢做题。


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