最近在两个相隔万里的国家组织的数学竞赛或者数学培训活动中，我看到两道和蜂巢有关的题目。
所谓蜂巢，即如下图所示的正六边形网格。
第一题面对的是7年级和8年级的学生，用数列和二次不等式可以解决，相对简单。因为赛题时效的问题，经朋友提醒，第一题尚不便公开。
第二题面对的是9年级和10年级的学生，是一道典型的组合题，用染色和数学归纳法可以解决。
原题我就不复述了，按照题意转述吧。
如下图所示，有边长为n孔的蜂巢，n ≥ 2，其最中心的孔洞缺失。
现在，用如下三联单位正六边形骨牌对上述蜂巢进行覆盖，骨牌可以任意旋转。
问：使用这种骨牌可以对哪些蜂巢实现完美覆盖？
先考虑三联骨牌的方向，易知在正六边形网格中，关于此骨牌的放置存在、且只存在如下三种方向：
这三种方向相互之间的夹角为120°。类似于正方形网格，我们沿着这三种方向对正六边形网格的孔洞进行染色。如下图所示，每两个相邻的被染为绿色的孔洞都位于某种方向上，它们之间不存在公共边，只是通过某个共边的单位正六边形的某条边相连。
正六边形网格经过染色后，我们可以发现在它上面任意放置一块骨牌，这块骨牌都将覆盖、且只覆盖一个绿色正六边形（以下称之为“标记孔洞”）。
我们将题目中蜂巢缺失的中心孔洞放置在某个标记孔洞上，然后用相同的方式对这些蜂巢进行染色，得到：
现在，考虑这一系列蜂巢的孔洞数Sn。
易知，
Sn – Sn - 1 = 6(n – 1)
…
S2 = 6
可以求得Sn的通项公式：
Sn = 6 + 6(2 + 3 + … + n – 1)
= 3n(n – 1)
然后，考虑这一系列蜂巢的标记孔洞数Ln。
我们分为三种情形讨论。
1. 当n从3k – 1增加到3k时，最外围每条边上的孔洞数为3k个，其中标记孔洞数为k个。标记孔洞位于每条边端点相邻的位置，在两条边之间没有重叠，所以6条边上的标记孔洞数为6k个。即：L3k – L3k – 1 = 6k
2. 当n从3k增加到3k+ 1时，最外围每条边上的孔洞数同样为3k个，其中标记孔洞数为k + 1个。但此时标记孔洞位于每条边端点的位置，在两条边之间存在重叠，所以6条边上的标记孔洞数为6(k + 1) – 6 = 6k个。即：L3k + 1 – L3k = 6k
3. 当n从3k + 1增加到3k + 2时，最外围每条边上的孔洞数同样为3k个，其中标记孔洞数为k个。标记孔洞位于每条边端点相间的位置，在两条边之间没有重叠，所以6条边上的标记孔洞数为6k个。即：L3k + 2 – L3k + 1 = 6k
综上，有
L3(k + 1) – 1 – L3k – 1 = L3k + 2 – L3k – 1= 18k
因为L2 = 0，所以
L3k – 1 = 18(1 + 2 + ... + k – 1) = 9k2 – 9k
L3k = L3k – 1 + 6k = 9k2 – 3k
L3k + 1 = L3k + 6k = 9k2 + 3k
L3k + 2 = L3k + 1 + 6k = 9k2 + 9k
我们申称：对于任一k ≥ 0，当n = 3k + 2时，对应的蜂巢无法被三联骨牌所完美覆盖；而对于任一k ≥ 1，当n = 3k或者n = 3k + 1时，对应的蜂巢都可以被三联骨牌所完美覆盖。
当n = 3k + 2时，蜂巢的孔洞数为
S3k + 2 = 3(3k + 2)( 3k + 1) = 27k2 + 27k + 6
即至少需要S3k + 2 / 3 = 9k2 + 9k + 2块三联骨牌才能完全覆盖该蜂巢。同时因为每块骨牌覆盖、且只覆盖一个标记孔洞，所以该蜂巢的标记孔洞数至少为9k2 + 9k + 2个。
而根据上述公式，实际上，该蜂巢的标记孔洞数为
L3k + 2 = 9k2 + 9k
矛盾。因此，当n = 2、5、8、...等形如3k+ 2的整数时，对应的蜂巢无法被三联骨牌所完美覆盖。
对于任一k ≥ 1，当n = 3k或者n = 3k + 1时，因为
L3k = 9k2 – 3k = (27k2 – 9k) / 3 = S3k / 3
L3k + 1 = 9k2 + 3k = (27k2 + 9k) / 3 = S3k + 1 / 3
所以对应的蜂巢满足被三联骨牌所完美覆盖的必要条件。
下面，我们证明对于任一k ≥ 1，当n = 3k或者n = 3k + 1时，对应的蜂巢确实可以被三联骨牌所完美覆盖。
易知，当n = 3或者4时，蜂巢可以被骨牌完美覆盖，下图为一个完美覆盖的实例。
假设当n = 3k或者n = 3k + 1时，对应的蜂巢可以被三联骨牌所完美覆盖。
考虑n = 3k + 3或者n = 3k + 4对应的蜂巢，和n = 3k或者n = 3k + 1对应的蜂巢相比，它们多出了最外围的3层孔洞。我们可以把这3层孔洞划分为旋转对称、且全等的三个部分，每个部分由两个平行四边形（一个蓝色，一个红色）组成。在下图中，一个部分用深蓝色和深红色表示，其它两个全等的部分用浅蓝色和浅红色表示。
在每个部分，蓝色的平行四边形宽为3个孔洞（即3层），长为边长的3k + 3或者3k + 4个孔洞，它必然可以被3k + 3或者3k + 4个骨牌覆盖；
红色的平行四边形宽为3个孔洞（即3层），长为边长减去3层以及一个顶角，即3k + 3 – 1 – 3 = 3k – 1或者3k 个孔洞，它必然可以被3k – 1或者3k 个骨牌覆盖。
因此，最外围的3层孔洞可以被三联骨牌完美覆盖。根据假设，内核的n = 3k或者n = 3k + 1对应的蜂巢可以被三联骨牌所完美覆盖，所以n = 3k + 3或者n = 3k + 4对应的蜂巢也可以被三联骨牌所完美覆盖。
根据数学归纳法，我们可以得出结论：对于任一k ≥ 1，当n = 3k或者n = 3k + 1时，对应的蜂巢都可以被三联骨牌所完美覆盖。
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