前几天转发了一道复旦附中2023年的自招真题，与轮换对称方程组有关。
不过，读者朋友们的回复似乎不够踊跃，所以，今天我再带来一道与轮换对称有关的问题，它来自澳大利亚1911年的大学入学考试。
对，您没看错，这是一道100多年前的“高考题”。如果拿它和现在澳大利亚高三的数学题相比，或者拿它和现在中国大陆的高考题相比，我们头脑中的一些刻板印象也许会被颠覆。
废话少说，上题！
简化以下代数式：
首先，该代数式是三项分式的加和。如果在每一项分式的前面加一个负号，那么分式分母中的三个括号就可以统一为(a – b)，(b – c)和(c – a)这样的形式。显然，它们是轮换对称的，考虑到分母中的其他项和相应的分子，这三项分式也是轮换对称的。
其次，分式简化的通常办法就是先将分母同分，然后简化分子，最后看看是否可以约分。所以，手速快的读者朋友们已经可以开始奋笔疾书了。
当然，就这么“硬做”多少有些不讲武德，也不够优雅。
以下给出我的解法，它不一定是最优雅的，但似乎行之有效。这个解法的基本思路是：赋予一些特殊的值给x，考察得到的代数式的值是否简单、有意义。
先观察代数式的分母，可知a，b和c两两不等，且都不等于0。
然后将此代数式改写成一个关于x的函数f(x)，令
显然，x只出现在分子中，这是一个幂次不超过2次的多项式函数。
观察分式的分子，不难考虑将x = a，b和c分别代入
因为函数形式轮换对称，易知
结果很简洁，观察到分母和自变量无关，但形式不统一。
这里用一个小技巧：因为a，b和c都不等于0，所以我们可以通过“反向约分”，强行将分母统一为abc。于是有
构造函数g(x)
根据定义，显然有
考虑到f(x)是一个幂次不超过2次的多项式函数，所以g(x)也是一个幂次不超过二次的多项式函数。因此，方程g(x) = 0最多有两个实数根。
而根据上面的结论，至少存在三个常数a，b和c可以使得g(x) = 0。
这种情况只有一种可能，那就是g(x) ≡ 0，即
即
因此，原题中代数式的简化结果为x2/abc。
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