提灯过河问题

文摘   2024-10-30 02:14   比利时  


今天带来一道适合于小学生、也适合于成年人的益智题。

在黑暗中,甲、乙、丙、丁四人必须经过一座年久失修的木桥。因为木桥不够坚固,每一次最多只能有两个人结伴而行,而且他们只有一盏灯,每一次过桥都必须有人提着灯随行。已知甲、乙、丙、丁分别可以在 125 8 分钟内过桥,两人同行的话所需时间只能根据速度较慢的人计算。如果灯油将在 15 分钟后耗尽,请问四个人能否全部安全过河?

假设四个人一开始在A岸,需要通过年()久(sāng)失()修()木()桥到达B岸,我们用AB表示从A岸到B岸的过桥行为,BA表示从B岸到A岸的过桥行为。

为了节约时间,每次AB显然都是两人结伴而行;而为了把灯带回A岸而不额外增加时间,每次BA显然都是单人行动。

因此,整个过桥过程可以分为AB1BA2AB3BA4AB55个步骤。

这样,ABBA两个方向合计共有2 + 1 + 2 + 1 + 2 = 8人次过桥。

因为一开始4个人都在A岸,最后4个人都到达B岸,所以4个人过桥的次数都为奇数。将8分解为4个奇数之和,只有两种可能:

1. 8 = 1 + 1 + 1 + 5

在这种情况下,有某个人来回过了5次桥,他参与了所有的5个步骤;这意味着其他三人互相都没有结伴而行,而这三人过桥至少需要8 + 5 + 2 = 15分钟,加上那个过了5次桥的人所需的时间,这个情况下显然无解。

2. 8 = 1 + 1 + 3 + 3

在这种情况下,如果丙和丁没有结伴而行,他们过桥占用两个AB步骤,需要8 + 5 = 13分钟;剩一个AB步骤和两个BA步骤至少需要 1 + 1 + 1 = 3分钟,总时间超过15分钟,无解。

因此,丙和丁必须结伴而行。同时,因为8 + 5 ∙ 2 = 18 > 15,所以丙和丁都只参与了一个AB步骤,即他们都只过了一次桥。

因此,甲和乙各过了3次桥,丙和丁各过了一次桥。

AB1BA2AB3BA4AB55个步骤中,丙和丁的这一次AB不可能为AB1,否则没有人在BA2这一步骤把灯带回A岸;也不可能为AB5,否则没有人在BA4这一步骤将灯带回A岸。

因此,丙和丁必然在AB3这一步骤过桥。

这样,AB1AB5这两个步骤都是甲乙同行,而BA2BA4这两个步骤属于甲或者乙单独过桥,将灯从B岸带回A岸。

这道题的答案就很明显了,一共有两种可能:

可能一:甲乙AB1,用时2分钟;甲BA2,用时1分钟;丙丁AB3,用时8分钟;乙BA4,用时2分钟;甲乙AB5,用时2分钟。5个步骤共用时 2 + 1 + 8 + 2 + 2 = 15分钟。

可能一:甲乙AB1,用时2分钟;乙BA2,用时2分钟;丙丁AB3,用时8分钟;甲BA4,用时1分钟;甲乙AB5,用时2分钟。5个步骤共用时 2 + 2 + 8 + 1 + 2 = 15分钟。

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