求：
注：⌊x⌋表示不大于x的最大的整数。
解答如下：
令
先将向下取整符号内的代数式分子有理化，
因为20241001 恰恰是4499的平方，所以除了最后一项，我们对分母中的√k进行放大，分母重新有理化后进行裂项，得到：
对不等式两端同时进行向下取整，所以取整后的不等式中使用大于等于号。即，
类似地，除了第一项，我们对分母中的√k进行缩小，分母重新有理化后进行裂项，得到：
对不等式两端同时进行向下取整，因为不等式右端正好为一个整数，所以取整后的不等式中使用严格的小于号。即，
综合两个不等式得到，8996 ≤ N < 8997。
即，N = 8996。
有读者朋友可能要问：为什么在两次缩放的过程中，分别跳过了最后一项和第一项？
这是因为在第一次缩放中，如果我们对所有的20241001项进行缩放和裂项，那么我们将得到，
在这个不等式中，20241002不是一个完全平方数。当然，显然有
4499 < √20241002 < 4499.5
所以同样可以得出N ≥ 8996的结论。
在第二次缩放中，如果我们从第一项开始就进行缩放和裂项，那么我们将得到，
这样，8996 ≤ N < 8998，从而无法确定N到底等于8996还是8997。
有朋友指出，不仅今年国庆节是一个完全平方数，明年的年份2025也是一个完全平方数。
这个不奇怪。相反，今年国庆节是一个完全平方数，恰恰是因为2025是一个完全平方数。
因为，2025 = 452，45002 = 20250000。
(4500 – 1)2= 20250000 – 9000 + 1
所以最后四位数字正好是1001。
不过，1001确实是一个特别的数字，因为它可以分解成三个连续质数7，11和13的乘积。
读者朋友云开¹⁹²⁶在评论区里提出了三道小学难度奥数题的问题，其中后面两个问题分别是：
②存在多少个尾数为1001的八位数平方数？
③下一个这样的国庆节在哪一年？
我们用小学生的方式干干体力活儿。
假设n2的最后四位数为1001。易知n的个位数只有可能是1或者9。
1. 假设n = 10a + 1，那么n2 = 100a2 + 20a + 1。
因为这个数的十位数为0，所以2a的个位数为0，a的个位数为0或者5。
1.1 假设n = 100b + 01，那么n2 = 10000b2 + 200b + 1。
因为这个数的百位数也为0，所以2b的个位数为0，b的个位数为0或者5。
1.1.1 假设n = 1000c + 001，那么n2 = 1000000c2 + 2000c + 1。
这个数的千位数为2c，不可能为1，所以无解。
1.1.2 假设n = 1000c + 501，那么n2 = 1000000c2 + 1002000c + 251001。
因为这个数的千位数为1，所以2c + 1的个位数为1，c的个位数为0或者5。
因此，形如10000d + 0501或者10000d + 5501，或者说，最后四位数为0501或者5501的正整数，其完全平方数的最后四位数都是1001。
1.2 假设n = 100b + 51，那么n2 = 10000b2 + 10200b + 2601。
因为这个数的百位数也为0，所以2b + 6的个位数为0，b的个位数为2或者7。
1.2.1 假设n = 1000c + 251，那么n2 = 1000000c2 + 402000c + 63001。
因为这个数的千位数为1，所以2c + 3的个位数为1，c的个位数为4或者9。
因此，形如10000d + 4251或者10000d + 9251，或者说，最后四位数为4251或者9251的正整数，其完全平方数的最后四位数都是1001。
1.2.2 假设n = 1000c + 751，那么n2 = 1000000c2 + 1502000c + 564001。
这个数的千位数为2c + 4，不可能为1，所以无解。
2. 假设n = 10a + 9，那么n2 = 100a2 + 180a + 81。
因为这个数的十位数为0，所以8a + 8的个位数为0，a的个位数为4或者9。
2.1 假设n = 100b + 49，那么n2 = 10000b2 + 9800b + 2401。
因为这个数的百位数也为0，所以8b + 4的个位数为0，b的个位数为2或者7。
2.1.1 假设n = 1000c + 249，那么n2 = 1000000c2 + 498000c + 62001。
这个数的千位数为8c + 2，不可能为1，所以无解。
2.1.2 假设n = 1000c + 749，那么n2 = 1000000c2 + 1498000c + 561001。
因为这个数的千位数为1，所以8c + 1的个位数为1，c的个位数为0或者5。
因此，形如10000d + 0749或者10000d + 5749，或者说，最后四位数为0749或者5749的正整数，其完全平方数的最后四位数都是1001。
2.2 假设n = 100b + 99，那么n2 = 10000b2 + 19800b + 9801。
因为这个数的百位数也为0，所以8b + 8的个位数为0，b的个位数为4或者9。
2.2.1 假设n = 1000c + 499，那么n2 = 1000000c2 + 998000c + 249001。
因为这个数的千位数为1，所以8c + 9的个位数为1，c的个位数为4或者9。
因此，形如10000d + 4499或者10000d + 9499，或者说，最后四位数为4499或者9499的正整数，其完全平方数的最后四位数都是1001。
2.2.2 假设n = 1000c + 999，那么n2 = 1000000c2 + 1998000c + 998001。
这个数的千位数为8c + 8，不可能为1，所以无解。
综上，n的最后四位数字必须为以下数字，其完全平方数n2的最后四位数字才会是1001：0501，0749，4251，4499，5501，5749，9251，9499。
现在来回答评论区的问题。
如果n2是八位数，那么3000 < n < 10000，因此符合条件的n只有6个：4251，4499，5501，5749，9251，9499。
下一个这样的国庆是44992后面的那一个，即55012 = 30261001。
公元3026年是啥样子？无法想象。
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