概率型悖论是一类非常有趣的数学问题，它们往往直击人们认知中的盲点，带来一些似是而非的结论。这一类悖论包括著名的“两孩问题”，也包括今天我们要讨论的双信封问题。
双信封问题的描述是这样的：
假设桌面上有两个看起来一模一样、里面都装有现金的信封，已知其中一个信封里装有的现金是另一个信封中现金的2倍。你随机打开了一个信封，发现里面装了100元，现在如果允许你放弃已打开的信封而选择另一个信封，你是否应该改变自己的选择？
了解、但不一定掌握了三门问题的读者朋友估计会喊出声来：应该改变！
他们的观点似乎是正确的：已打开的信封里面有100元，未打开的信封里要么有200元，要么只有50元，两者出现的概率相同。也就是说，如果改变选择，最终拿到200元的可能占一半，拿到50元的可能占一半，所以最终拿到金额的数学期望为200/2 + 50/2 = 125元；而不改变选择的话，拿到手中的金额是100元，所以改变选择将给你带来25元的额外收益。
这个推理看上去无懈可击。
假设第一个信封中的钞票面额为M，那么改变选择后得到的金额的数学期望为
2M/2 + M/2/2 = 5M/4
改变选择带来的额外收益为
5M/4 – M = M/4
因此，不论打开第一个信封后你看到的是多少面值的钞票，你都应该改变自己的选择。
这意味着你将第一个信封拿到手后，甚至可以不打开信封，因为不论里面是多少钱，你都应该改变选择，转而打开第二个信封。
那么，设想有两个人甲和乙参与这个游戏，他们各自拿了一个信封、但不打开它们。不论哪个信封中有双倍的钱，因为上述的概率分析，甲应该改变他的选择，乙同样也应该改变他的选择。这样甲和乙愉快地互换了信封，两个人都认为自己得到了1/4的额外收益。
但是，交换信封是一个零和动作，并不会给两个人的总收益带来任何影响，这与两个人各自的决策相悖！
或者，我们设想有一个人每天都在同样的两个信封之间做一次选择，但并不打开任何一个信封，在每天的选择中，他都会放下手中的信封，改而选择另一个信封。这样，虽然他只是在两个信封中间不断切换，但根据上面的概率计算，每天他都能得到25%的额外收益。按照这个速度，用不了多久他就可以成为世界首富——当然，切记不能打开信封兑现，否则这个梦想会立刻破碎。
问题出在哪里？
我们换一个角度来计算这个过程中的各个概率。
假设两个信封中一个信封装有金额为M的钞票，另一个装有2M。你选择到任一信封的概率都为1/2，如果不改变选择，那么你的期望收益为
M/2 + 2M/2 = 3M/2
如果改变选择，那么手中的现金要么从M变为2M，要么从2M变为M，所以你的期望收益为
2M/2 + M/2 = 3M/2
因此，你改变或不改变，期望的收益是相同的。
回过头来看看前面的错误计算，公式
2M/2 + M/2/2 = 5M/4
中的M其实有两种混淆不清的含义。
假设信封A中装有M现金，信封B中装有2M现金，将A和B随机打乱。
情形一有1/2的概率，你拿到了A信封和M现金，这时如果改变选择你将拿到2M现金，收益为2M/2，改变带来的额外收益为M/2，没错；
情形二有另外1/2的概率，你拿到了B信封和2M现金，这时如果改变选择你将拿到M现金，收益为M/2，改变带来的额外收益为 – M/2。错误的计算将B信封中的2M混淆成了M，因此算出来收益为M/4，改变带来的额外收益为 – M/4。这是错误结论的第一个来源。
另外，在计算改变带来的额外收益时，错误的计算一律用M表示第一个信封中的现金，实际上应该分别用M和2M来表示第一个信封（A或B）中的现金，这是错误结论的第二个来源。
因此在计算改变选择带来的额外收益的数学期望值时，正确的计算公式应为：
(2M – M)/2 + (M – 2M)/2 = 0
而错误的计算公式为：
(2M – M)/2 + (M/2 – M)/2 = M/4
后者给大家带来了不切实际的发财梦想。
往期精彩文章：
数学科普：
数学竞赛：
数学教育：
数学文化：
敬请关注“唯思客俱乐部”，分享、点赞、在看我们的文章：
