新教材中的三角形四心向量表达式21个

这一篇借新教材课后复习题在给同学们讲一下这个非常小的知识点。之所以讲此点，是因为该知识点到高三一轮之后的模考中不常出现，同学们复习过程中很容易忽视，一旦考到，不少同学就弄不清题设向量表达式描述的是三角形哪个“心”！
另外，这种题型在一轮之后的模考中不常出现并不代表不会考，而是会将此考点融合到其他考点中出现，比如24届山东青岛一模单选压轴第8题角平分线向量表达式（原题如下）。
这一篇，就详细把三角形四心的21个向量表达式再给同学们总结一下，会推导即可，切勿死记硬背。

注： 本篇也适合高一阶段的同学在学到该章节时学习参考。

• 一、新教材中出现的三角形四心向量表达式
• 二、三角形“四心”定义
• 三、三角形“四心”的20个向量公式
• 1、重心
• 2、垂心
• 3、内心
• 4、外心
• 5、向量与四心之间更深层次的关系——奔驰定理
• 四、拓展 旁心
• 五、三角形四心的向量表达式考题

一、新教材中出现的三角形四心向量表达式

在人教 版新教材必修第二册 第六章习题第1、2题就描述了三角形四心的几个向量表达式（如下图）

答案： 1. ；2. （下文中都有涉及）

二、三角形“四心”定义

1、重心： 三边中线的交点，重心将中线长度分成 ；

2、垂心： 三条高线的交点，高线与对应边垂直；

3、内心： 三条角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等（关注微信公众号：Hi数学派）

4、外心： 三条中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。

三、三角形“四心”的20个向量公式

1、重心

（1） 已知 是 所在平面上的一点，则 是 的重心（关注微信公众号：Hi数学派）

证明：

① 先证明必要性： 是 的重心

如图 1，延长 交 于点 ，则 为边 的中线，故

同理， ，设 ，则

延长 交 于点 ，则 为边 的中线，故 ，所以

又 、、 三点共线，因此

解得

则

移项可得

②再证明充分性： 是 的重心

设边 、、 的中点分别为 ，

则 ，

代入 得

所以 、、 三点共线，即点 在中线 上，

同理点 在中线 上，则 是 的重心 .

（2） 已知已知 是 所在平面上的一点，则 是 的重心

证明： 只证明充分性，必要性由中线的性质可知显然成立 .

延长 交 于点 ，所以（关注微信公众号：Hi数学派）

即，点 为 的中点；

同理，分别延长 、 交 、 于点 、，则点 、 分别为 、的中点；

所以 是 的三条中线的交点，即重心。

（3） 已知 是 所在平面上的一点，动点 满足

则点 的轨迹一定通过 的重心。

证明： 由已知， ，

设线段 的中点为 ，由平行四边形定则知

所以 ，

即 与 边中线 共线，所以点 的轨迹一定通过 的重心。

（4） 已知 是 所在平面上的一点，动点 满足（关注微信公众号：Hi数学派）

则点 的轨迹一定通过 的重心。

证明： 由已知， ，

设线段 的中点为 ，则

所以 ，

即 与 边中线 共线，所以点 的轨迹一定通过 的重心。

（5） 已知 是 所在平面上的一点，动点 满足

则点 的轨迹一定通过 的重心。

证明：  过点 作线段 的垂线交 于点 ，则

设线段 的中点为 ，则由已知，

即 与 边中线 共线，所以点 的轨迹一定通过 的重心。

2、垂心

（6） 已知 是 所在平面上的一点，若 ，则点 是 的垂心 .

证明：  由已知，

即 垂直 ，也即点 在边 的垂线上；

同理，点 也在边 、 的垂线上，所以点 是 的垂心 .

（7） 已知 是 所在平面上的一点，若（关注微信公众号：Hi数学派）

则点 是 的垂心 .

证明：  由已知， ， ，所以

同理可得，

所以

同 （6） 可证，点 是 的垂心 .

（8） 已知 是 所在平面上的一点，动点 满足

则点 的轨迹一定通过 的垂心 .

证明：  由已知，

又（关注微信公众号：Hi数学派）

所以 ，所以点 在边 的垂线上，即点 的轨迹一定通过 的垂心 .

3、内心

（9） 已知 是 所在平面上的一点，动点 满足

则点 的轨迹一定通过 的内心 .

证明：  由已知（关注微信公众号：Hi数学派）

表示边 方向上的单位向量，同理 表示边 方向上的单位向量，则由平行四边形定则可知 ， 表示 的角平分线方向上的向量，则点 的轨迹一定通过 的内心 .

（10） 已知 是 所在平面上的一点，动点 满足

则点 的轨迹一定通过 的内心 .

证明：  在 中，由正弦定理可知

为 的外接圆半径，所以

由 （9） 可知，点 的轨迹一定通过 的内心 .

（11） 已知 是 所在平面上的一点， 为 的三边长，若

则点 是 的内心 .

证明：   ， ， 则

等式两边同时除以 ，再移项得

由 （9） 可知， 为 的角平分线，同理 分别为 的角平分线，所以点 是 的内心 .

4、外心

（12） 已知 是 所在平面上的一点，若（关注微信公众号：Hi数学派）

则点 是 的外心 .

证明：  略

（13） 已知 是 所在平面上的一点，若

则点 是 的外心 .

证明：  设边 、、 的中点分别为点 、、，则

所以 为边 的中垂线，同理 分别为边 的中垂线，所以点 是 的外心 .

（14） 已知 是 所在平面上的一点，动点 满足

则点 的轨迹一定通过 的外心 .

证明：  设边 的中点为 ，则

又（关注微信公众号：Hi数学派）

所以 ，所以点 在边 的中垂线上，即点 的轨迹一定通过 的外心 .

（15） 已知 是 的外心，点 分别为边 、、 的中点，则有以下结论（关注微信公众号：Hi数学派）

①

②

③

证明：  由已知，点 是 的外心，则 ，，

① ，则

同理可证（关注微信公众号：Hi数学派）

②

由 ① 可知 ， ，

所以 ，

同理可证

③  

由 ① 可知 ， ，

所以

同理可证

5、向量与四心之间更深层次的关系——奔驰定理

（16）奔驰定理： 已知 是 内一点，，， 的面积分别为 ，， ，则（关注微信公众号：Hi数学派）

证明： 如图7，延长 ，交 于点 ，

则

在 中，

所以（关注微信公众号：Hi数学派）

即

（17）奔驰定理推论 1：  若 为 的重心

证明： 中线分三角形两部分面积相等，进而重心与三角形三顶点连线分三角形三部分面积相等。

（18）奔驰定理推论 2： 若 为 的内心

证明： 三角形内心到三边距离相等，则内心与三角形三顶点连线分三角形三部分面积之比等于三边边长之比。

（19）奔驰定理推论 3： 若 为 的外心

证明： 如图8，在 外接圆中， 的圆心角 等于二倍的圆周角 ，即 ，

又

同理，

所以（关注微信公众号：Hi数学派）

进而

（20）奔驰定理推论 4： 若 为 的垂心

证明： 如图9，延长 交边 于点 ，

则 ，

故

又 ，

所以

同理可得（关注微信公众号：Hi数学派）

进而

四、拓展 旁心

旁心定义： 三角形五心之一（其它四个为内心、外心、重心和垂心）。旁心是三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心。它是三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点，每个三角形有三个旁心。

（21）旁心向量表示式： 已知 是 所在平面上的一点，动点 满足

则点 的轨迹一定通过 的旁心 .

证明： 由已知，

表示边 方向上的单位向量，同理 表示线段 方向上的单位向量，则 表示 的外角角平分线方向上的向量，则点 的轨迹一定通过 的旁心 .

五、三角形四心的向量表达式考题

【长郡中学 24 年高一期末T11】 点 在 所在的平面内，则以下说法正确的有（关注微信公众号：Hi数学派）

若 ，则点 为 的外心 (外接圆圆心）

若 ，则动点 的轨迹一定通过 的重心

若 ，， 分别表示 ， 的面积，则

若 ，则点 是 的内心

解析：

对于 选项，可以参考上文的垂心向量表达式 （6）

对于 选项，可以参考上文的重心向量表达式 （5）

对于 选项，可以参考上文的向量与四心之间更深层次的关系——奔驰定理 （16）

对于 选项，可以参考上文内心和旁心的向量表达式 （9）（21），但也不同，这里说明一下，如图 1

是 平分线 方向上的向量

，因此 是 平分线

同理得 分别是 和 的平分线，因此 是 三内角平分线的交点，所以 是 的内心

【24届山东青岛一模T8】 已知 ，，设点 是圆 上的点，若动点 满足： ， ，则 的轨迹方程为（关注微信公众号：Hi数学派）