本周六是第6届阿里巴巴数学竞赛决赛的日子，祝所有参加决赛的选手们赛出自己的水平！
我们来考虑这样一个问题：随机选择两个正整数，这两个数互质的概率是多少？
所谓互质，就是两个数没有共同的质因子。比如：3和5是互质的，24和25也是互质的。前者是一对质数，后者是一对没有共同质因子的合数。
假设所求的概率为P。
我们先观察两个数的奇偶性，显然，当两个数都是偶数时，它们一定不互质，因为2是它们共同的质因子；当两个数都是奇数，或者一奇一偶时，我们不能确定它们是否互质。因为随机选择两个正整数，它们都是偶数的概率为1/2 ∙ 1/2 = 1/4，所以两个数没有2这个共同质因子的概率就等于(1 – 1/4)。
再来考虑两个数关于3的整除性。类似地，当两个数都是3的倍数时，其出现的概率为1/3 ∙ 1/3 = 1/9，此时3是它们共同的质因子，它们一定不互质。所以随机选择两个正整数，它们没有3这个共同质因子的概率就等于(1 – 1/9)。
依此类推，随机选择两个正整数，它们没有n这个共同质因子的概率就等于(1 – 1/n2)。
我们所求的概率为这两个正整数互质，即它们之间不存在任何共同的质因子。所以，
P = (1 – 1/22)(1 – 1/32)(1 – 1/52)… = Πp为质数(1 – 1/p2)
然后，我们观察无限等比数列
1, 1/p2, 1/p4, 1/p6, …
的求和公式：
1 + 1/p2 + 1/p4 + 1/p6 + … = [1 – (1/p)∞]/(1 – 1/p2) = (1 – 1/p2)-1
因此，
P-1 = Πp为质数(1 – 1/p2)-1 = Πp为质数(1 + 1/p2 + 1/p4 + 1/p6+ …)
看起来越来越复杂了，这个等比数列求和、再求积的式子如何化简？
此处我们请出伟大的莱昂哈德∙欧拉同学。
因为本文的重点不在数学史或者数学文化上，所以这里我对欧拉不作过多的介绍。欧拉在数学上的成长和取得的成就和伯努利家族前后两代人是密切相关的，有意思的是，伯努利家族原籍比利时，却成名于巴塞尔；而欧拉出生于巴塞尔，却成名于圣彼得堡和柏林。
欧拉敏锐地发现，如果将
Πp为质数(1 + 1/p2 + 1/p4 + 1/p6 + …)
式子的括号拆开，那么将得到一个以1开头，1/n2形式的分数相加的求和代数式。这个代数式中的每一项1/n2来自于原来括号中的某一项，即1或者某个质数的某个幂的平方的倒数，与其他括号中的某一项，即1或者另一个质数的另一个幂的平方的倒数相乘的结果。
联想到，任意一个正整数可以被唯一的方式进行质因数分解；反过来，任意质因数及任意幂的组合也可以通过连乘得到唯一一个正整数。
因此，伟大的欧拉得出：
P-1 = Πp为质数(1 + 1/p2 + 1/p4 + 1/p6 + …) = 1 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + … = ∑n为自然数1/n2
所有自然数的平方的倒数之和等于多少？这就是著名的巴塞尔问题。
这个问题最早由意大利数学家门戈利（Pietro Mengoli）提出，1734年欧拉在圣彼得堡科学院公布了他的答案。这个问题没有被命名为门戈利问题，而被命名为巴塞尔问题，显然是向欧拉家乡巴塞尔致敬的结果。
和调和级数不同，巴塞尔问题中的这个无穷级数是收敛的。其收敛性我们可以通过裂项法（telescoping）证明：
关于巴塞尔问题的完整解法有些超出了中学数学的范畴，所以这里不详细介绍，有兴趣的读者朋友们可以自行在网上寻找答案。
根据巴塞尔问题的答案，我们得出：
P-1 = ∑n为自然数1/n2 = π2/6
因此，任意选择两个正整数，它们互质的概率P = 6/π2。
一般来说，阿里巴巴数学竞赛的决赛题基本上都需要高等数学的知识进行解答。今年的决赛题目前尚未公布，拿去年的决赛题来说，里面似乎只有一道题可以勉强用初等数学的知识加巴塞尔问题的答案进行解决。
这道题是分析与方程赛道的第1题：
这道题中的序列显然是个严格递增的序列，需要证明的是这个序列有上边界，且这个上边界小于1。
肉眼估计一下前面几项，可知其递增速度还是蛮可观的，但随着n越来越大，分母上的n2使得递增的幅度迅速减小。解决这道题的关键在于如何找到合适的放缩，使得放缩后的序列是个已知收敛的序列。
我们把序列的递推公式两边取倒数，再整理一下，可得：
在变形后的递推公式中，an和n2以加和的形式位于分母上，可以推测出，当n越来越大时，n2的增长非常快、而an始终是一个小于1的数，因此我们可以舍去an这个相对小的数值，而且随着n越来越大，这种舍去带来的偏差也越来越小——即舍去后的项收敛于其真实值。
对变形后的递推公式从a1到an进行求和，得到
根据巴塞尔问题，可知，
所以，
等等……an的倒数小于1，这样的话，我们没法得出an < 1的结论！
问题出在哪里？
问题在于放缩的步子有些太大了。
前面我们说了，这个序列的前几项递增的速度还是蛮大的，这几项和n2相比并不算特别小。所以，我们可以把巴塞尔问题中的级数起点从1改为2试试，相当于跳过第一项不进行舍去。
回到舍去前的式子：
将求和中的第一项拿出来，
对求和中的其他项进行舍去（放缩），
将a1 = 2/5代入，
再凑一个第一项放入求和中，
因此，an+1 < 1，即序列中所有项an < 1。
证明完毕。
往期精彩文章：
数学科普：
数学教育：
数学文化：
敬请关注“唯思客俱乐部”，分享、点赞、在看我们的文章：
