如何帮助学生从算术思维向代数思维过渡
百科
2024-11-13 11:53
山东
方程的学习，以往注重的是有关概念和技能，如什么叫方程？什么叫方程的解？什么叫解方程？方程的解与解方程有什么不同？怎样解方程？等。再如列方程解应用题，历来被看作是教学的重点和难点，在教学中，教师往往满足于头头是道地给学生分析等量关系，机械地列出方程，解答问题。这样的教学，学生没有经历数学建模的过程，无法体会方程是现实世界的数学模型，应用意识和实践能力的培养也就成了一句空话。方程是刻画现实世界数量关系的数学模型，应从“数学建模”的角度开展方程的教学。结合具体的情境教学方程的含义，如“用式子表示天平两边物体的质量关系”，让学生通过观察、分析，写出式子，再比较式子的异同，在讨论和交流中，由具体到抽象感受、理解方程的含义。解方程的教学，让学生依据等式的性质对数学模型进行变换，探求方程的解。教学列方程解决简单的实际问题，要求学生在问题情境中，探索、研究、寻求已知与未知之间的内在联系，建立数量之间的相等关系，即把日常语言抽象成数学语言（数量关系式），进而转换成符号语言（方程式）。在经历多次这样的活动后，学生将逐步感受到方程与实际问题的联系，领会数学建模的思想和基本过程，提高解决问题的能力和信心。算术思维着重的是利用数量计算求出答案的过程，这个过程具有情境性、特殊性、计算性的特点，甚至是直观的。而代数思维就其本质而言是一种关系思维，它的要点是发现（一般化的）关系和结构，以及明确这些关系与结构之间的关系。代数思维的运算过程是结构性的，侧重的是关系的符号化及其运算，是无法依赖直观的。结构化、符号化、抽象化及概括化是代数思维的特点。如“南京地铁一号线地下部分大约长14.3千米，比地上部分的2倍少0.7千米。地上部分大约长多少千米？”用算术思维来解决，通过对问题情境的理解，首先算出14.3＋0.7＝15（米），这就是地上部分的2倍，再用15÷2＝7.5（千米），求出地上部分的长度。两道算式记录了思考的过程，通过对已知数量的一系列运算，不断接近最终的结果。而用代数思维来解决，设地上部分大约长x千米，通过对问题情境的抽象，分析出具有结构性的关系式，再符号化成方程式2x－0.7＝14.3，接下来的运算过程则是与原问题情境无关的符号运算，最后再对求出的解x＝7.5进行意义上的还原。代数思维必须以算术思维为基础但又必须超越算术思维。从算术思维到代数思维的跨越是儿童数学学习必须经历的一个极为重要的阶段，这个过渡并非一个经过练习能够跨越的量变过程，而是一个必须经历结构转化的质变过程。小学数学学习，每个学生都必须面对从算术思维过渡到代数思维的知识。这个指数抽象，难以理解，大多数学生而言都会存在不同程度的困难。因此，教师在教学中首先应重视对学生代数思维的培养，在之前学习的运算定律字母表达式中，可以有意无意渗透一些代数思维了。也就是说，“字母表示数”及“方程”相关内容的学习是在第二学段高年级出现的，但对学生代数思维的培养，不一定也不应该等到这个时候才开始。在前面的很多内容教学中应该有意识地孕伏，让学生有机会在不同内容的学习中“找感觉”，积累经验，不断地为完成好认识上的重要飞跃打基础。学目标十分强调“在具体情境中”进行教学。这是因为，小学阶段，学生的数学思维从以具体形象思维为主要形式向抽象逻辑思维为主要形式过渡，其抽象逻辑思维在很大程度上仍与感性经验直接相关联。在启蒙阶段，通过创设与学生生活环境、知识背景密切相关的，又是学生感兴趣的学习情境，把学习的过程置于一个学生能够体验的环境，从而在直观的感受中，理解字母表达式所反映的等量关系，并会用代数的方式解决一些实际问题，掌握其知识。这正如《标准》所认为的：数学学习“不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律”。如果说数字符号是对生活中各种物体个数的抽象概括，那么代数式则是对各种数字符号的抽象概括。在认识用字母表示数时，教材一般从学生熟悉的生活中选择一些典型数量关系，先让学生用算式表示问题的结果，再通过改变具体数量，抽象出用字母表示数，写出相应的含有字母的式子。具体情境能激活学生已经积淀的算术层面对数量关系的理解，支撑学生在代数层面对数量关系的理解。既使新知识“含有字母的式子”的学习过程有场景作依托，又使学生在读解式子时便于产生联想并理解和表述，使学生在学习抽象的代数知识中感到言之有物，还能认识到代数的学习可以使我们对数量关系的表达更清晰、简洁。这一数学活动的过程，帮助学生从“算术”走向“代数”，促进学生体验数学的概括性和抽象性，发展符号感。例如：“数青蛙”的教学案例，就是形象的让学生从算术思维向代数思维过渡。学生从算术思维向代数思维过渡，是学生认知发展的飞跃。“用字母表示数”，既用字母表示出了数，又准确地表示出了数量之间的关系。“字母表示数”的引出奠定了积极而充分的情感基础。用字母表示数是代数学习的首要环节，理解用字母表示数的意义是学习代数的关键，也是在后续学习中运用代数式、方程、不等式、函数进行交流的前提条件。字母表示数的思想，深刻地提示和指明了存在于一类问题中的共性和普遍性，把认识和推理提到一个更高的水平。学生对用字母表示数的理解，要在经历大量运用字母表示具体情境中数量关系的活动中实现。例如，学习“用字母表示数”，字母并不是一下子很突兀地呈现于学生面前。在此之前，教学加法和乘法的运算定律时，已经引导学生用字母表示各运算定律；在第一学段学习长方形、正方形等平面图形的面积计算时，已经接触了用字母表示各图形的面积计算公式；这些都是学习“用字母表示数”的基础。又如，学生通过前面几个学期“算术”内容的学习，对简单实际问题中的基本数量关系已比较熟悉。以“速度、时间、路程”为例，在以往解决具体问题的过程中，学生初步理解了三者之间的关系，而在学习用字母表示数之后，进行抽象概括，用公式表示，这样对数量关系的认识与理解达到更高的抽象水平。而这些，又是学习方程时建立数学模型的重要知识基础。由此，我们要建立这样的认识：学生经历从用数字表示数到用字母表示数的过程是一个漫长的过程，需要经历大量的活动，积累丰富的经验，让学生在具体情境中反复体会用字母表示数的意义。在小学，学生对代数知识的认识非常肤浅。例如，许多学生认为2x=9与2y=9的意义不同。我们要注意纠正学生在学习中形成的不恰当概念。在教学时，从学生熟悉的生活中选择一些典型的数量关系，引导学生用字母表示数。具体说来，要抓住三个环节：如何引入用字母表示数；怎样引导学生理解含有字母的式子不仅表示数，还表示数量关系；注意让学生体会用字母表示数的好处。这个过程既是新知识的学习过程，更是学生由原有的算术思维水平不断向代数思维水平迈进的过程。从数字运算到字母运算。在此过程中，教师要紧紧把握好符号意识。在进行教学时要做到：引导学生逐步认识字母表示数，首先在简单的数量关系里让学生体会字母表示数，这里通过常见的、简单的、学生容易理解的实例，让学生依据简单的数量关系，体会每个实例中字母的具体含义，认识可以用字母表示相应的数，并了解字母式子的意义。然后在稍复杂的数量关系里体会字母表示数，这里主要是根据含有两级运算的两步计算的数量关系的表达，引入用字母表示其中某个量的数，让学生进一步体会字母的含义，再通过摆图形等实际情况，引导学生联系实际问题和具体情境理解用字母所表示的数的意义，在操作、感知的基础上理解字母表示的数的实际含义从不同角度理解简单的加减计算的结果，进一步认识字母可以表示数，加深对字母表示数的认识和理解，体现和反映对学生符号感的培养，从而达到数学课程标准中所规定的要求：“能从具体的情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示”、“理解符号所表示的数量关系和变化规律”。在教学时先教学等式，再教学方程的意义。从生活实际——购物场景中引入，学生有生活的经验，用式子表示，引出等式与不等式；在等式与不等式的比较中建构对“相等关系”、“等式”的理解。接着，在不同的场景中，用数学方式表述现实场景中各种关系，再通过观察、比较、分类、交流等活动，概括方程概念。概念的构建过程，并不是由教师机械地传授乃至直接告诉学生，而是用数学符号提炼现实生活中特定关系的过程。方程对小学生来说，不仅是形式上的认识，也是感受在解决实际问题过程中建立模型的过程。在交流等式和方程有什么关系时，应引导学生观察具体实例进行说明，这样能加深学生对方程的认识，还可以引导学生从集合的角度体会这两个概念之间的关系。在对方程的意义有了明确的认识之后应循序渐进地教学等式的性质和用等式的性质解方程，在列方程解决实际问题的过程中，找到问题中数量之间的相等关系是列方程解决实际问题的关键。列方程解决问题与列算式解决问题相比，在思维方式上是一个飞跃。应引导学生积极参与解决问题的活动，教学时具体分这样几步：（1）明确条件和问题；（2）分析问题中已知量和未知量的相等关系；（3）把数量间的相等关系“翻译”成未知数X和已知数之间相等关系的方程。这样的过程就是建立数学模型的过程。“数学教学不能满足于单纯的知识灌输。而是使学生掌握数学最本质的东西，用数学思想和方法统串具体知识、具体问题的解法，循此培养和发展学生的数学能力”因此，我们要在教学中应该善于捕捉恰当的内容，善于寻找恰当的时机，选择恰当的方式，及时训练代数思维，让学生在活动中有所感，有所悟。以前小学阶段的解方程，其基本依据是加与减、乘与除之间的逆运算关系。中学学习解方程用的是代数的方法。在小学里学习解方程也是利用等式的性质，这样中学学习不再是另起炉灶。小学里解方程的教学，与中学数学教学的衔接，不仅仅表现为解方程方法的一致，更有价值的是：思考问题的方法趋向一致。根据四则运算的互逆关系解方程，属于算术领域的思考方法；用等式性质解方程，属于代数领域的解方程。两者有联系，但后者是前者的发展与提高。这样，在解方程的教学中，学生将逐步接受并运用代数的方法思考、解决问题，使思维水平得到提高。
