文/四十笔画
约3000字，阅读约10分钟
这是全谈数学的第18篇原创文章
上期对“租船问题”省钱方案的教材呈现进行了分析：
一是尽量租大船，因为大船座位的单价便宜；
二是尽量没有空位。
并且只出示了两种方案就得出了结论。这两个关键点对本道题来说算得上聪明之举。
为此，对某学校一个班的学生进行了后测。题目如下：
实验小学四（1）班36名同学去公园划船。大船限坐5人，每条船租金40元；小船限坐3人，每条船租金30元，怎样租船最省钱？（请写清楚别人能看懂的解题过程）
通过后测我们发现，95%的学生能够抓住最基本的两个关键点（单价便宜优先、尽量不空位）去解题，只是在书写表达时不是很清楚。①号计算步骤太多，不能一眼就能看清楚解题过程。②号第二个除法算式书写有误。但能看出学生是在第一种方案的基础上进行调整，在鼓励的学生的同时需要强化表达的准确性。③号运用序号代替教材中繁杂的文字介绍，而且计算总价的时候运用了综合算式表达，相对于①号更为简洁，算是一种很完整的表达，但这可能对于大部分同学还是有困难。
为此，在第二课时教学的时候，学生的书写表达便是本节课的重点之一。虽然算式表达高级且简单，但是具有一定的难度。而前面有“列表法”解决此问题的基础，因此运用“列表法”解答，也是一种表达的方式，为此，列表法也是本节课的重点。
鉴于此，进行了第二次“租船问题”教学
回顾解题过程的完整步骤
阅读与理解
呈现梳理的信息为后面的“列表法”教学做好铺垫：
大船 | 小船 | 人数 | 总价 |
限乘5人 | 限乘3人 | 36 | ？ |
分析与解答
通过对①②③号的作业辨析，规范书写表达。目的在于让别人一眼就能看懂。
40÷5=8（元） 30÷3=10（元）
优先租大船
36÷5=7（条）… … 1（人）
①40×7+30=310（元）
退大租小
②40×6+2×30=300（元）
备注：此步骤需要学生去进行推理得出【36-5×6=6（人） 6÷3=2（条） 刚好坐满】
310＞300
答：租6条大船，2条小船最省钱。
回顾与反思
（1）回到信息整理中去检验。把结果代入，然后算出人数和总价，再画出表格线就成了以前学习的“列表法”。如图所示：
（2）沟通联系。既然列表法可以检验是否正确，那么列表法就也可以解决此题。不同之处在于不需要一一列完。
关键的一点【依然首先要解决优先租那种船】
正确表达如下：
40÷5=8（元） 30÷3=10（元）
优先租大船
36÷5=7（条）… … 1（人）
巩固练习
把四（一）班36人改成四（二）班39人，学生根据前面的解题思路或者是说一种模型，很容易得出下面两种解题方法。
40÷5=8（元） 30÷3=10（元）
优先租大船
39÷5=7（条）… … 4（人）
①40×7+2×30=340（元）
退大租小
②40×6+3×30=330（元）
【39-5×6=9（人） 9÷3=3（条） 刚好坐满】
340＞330
答：租6条大船，3条小船最省钱。
列表法：
40÷5=8（元） 30÷3=10（元）
优先租大船
39÷5=7（条）… … 4（人）
340＞330
答：租6条大船，3条小船最省钱。
“为什么四（二）班只花了320元呢？”
引发同学们思考，经过论证发现是全租大船。40×8=320（元），的确是最省钱的方案。我们发现：数据稍作改变按照原来的思路得不出正确答案。
显然，以前的解题是一种不完全归纳，需要用实际例子加以纠正并完善。
为什么“无空位不一定最省钱？”究其原因：
首先通过单价对比，8元就成为标准价。
虽没有空位，但小船的每个座位都比标准多花了2元，也就是多花18元。
如果全部租大船，空一个座位，也就是8元，经过比较，全租大船少花了10元。还是租空1个座位的8条大船最省钱。
这一经历，不仅直击“租船问题”的本质，还丰富了学生的数学活动经验，提升了思维水平。
那究竟什么情况下需要考虑全租大船的情况呢？
36÷5=7（条）… … 1（人）
39÷5=7（条）… … 4（人）
通过对比发现，只是总人数发生了变化，进而产生余数不同的情况，而余数直接影响着租的小船的条数，1人租1条小船肯定比租1条大船便宜，而4人要租两条小船，肯定要比租1条大船贵。由此，得出结论：
余数大于小船乘坐人数的时候，就要考虑全租大船的情况。
在原来解题思路的延续下，描述如下：
40÷5=8（元） 30÷3=10（元）
优先租大船
39÷5=7（条）… … 4（人）
①40×7+2×30=340（元）
退大租小
②40×6+3×30=330（元）
备注：【39-5×6=9（人） 9÷3=3（条） 刚好坐满】
③退小租大
备注：【以第①种方案为标准调整】
40×8=320（元）
340＞330＞320
答：租8条最省钱。
如果是列表解决，可以把“观察余数”提前，看是否需要从全租大船开始。
是否有了全租大船的情况就不用再枚举退大租小了呢？实则不然，还是需要列举到尽量不空位。这样只是在以前的思路上增加了一步“观察余数”的情况。
还有没有一种情况，
无论怎么枚举都有空位呢？
此问题又会引发同学们的思考。
例如：
实验小学四（3）班37名同学去公园划船。大船限坐6人，每条船租金42元；小船限坐4人，每条船租金30元，怎样租船最省钱？（请写清楚别人能看懂的解题过程）
便于观察：本题采用“列表法”
42÷6=7（元） 30÷4=7元多
优先租大船
37÷6=6（条）… … 1（人）
“尽量不空位”已经在学生的心中留下深深的印记，解题的时候需要这样无休止的枚举下去吗？通过观察，我们发现，租5大2小的方案后面都是徒劳，会不会有什么规律呢？
首先必须优先租大船，所以大船只数只能小于小船只数；
其次，从大船和小船的总只数来看：方案①②是7条，方案③就变成8条了，纵向看，少一条大船省42元，而租两条小船需要60元，所以，当总只数增加，肯定就不省钱。所以只需要枚举到4大4小就可以了。不一定非得要列举到没有空位的时候。
因此，从这一角度分析
教学时应注意：
我们要认识到解决问题教学面临的不是一个问题，而是一类问题，因而需要教师引领学生在问题解决的过程中建模，即通过对同类问题多个实例的研究，总结出解决某一类问题的规律，形成一个问题解决模型，进而运用这个模型去解决生活实际问题。在后续基本练习的基础上，要通过变式练习使学生的思维更缜密，改变情境，扩大其应用范围，体会利用数学知识解决问题的模型化与复杂性。
END
欢迎交流
改进教学 发展自我
为己而研
研究自己
