由于独特的政治和社会结构，比利时的中学生数学奥林匹克竞赛由说荷兰语的弗拉芒大区和说法语的瓦隆大区分别组织和举办。弗拉芒大区组织和举办的比赛叫做VWO，分为JWO和VWO两个级别；瓦隆大区组织和举办的比赛叫做OMB，分为Mini，Midi和Maxi三个级别。
两项比赛的决赛分别由四道问答题组成，总体上来说VWO的考题比OMB Maxi的考题要稍微难一点。与其他国家的竞赛横向对比，VWO决赛的问题大约和荷兰数学奥林匹克竞赛NWO的决赛问题处于同一水平，比英国数学奥林匹克竞赛BMO 1的考题难度稍微低一点。
下面是一道JWO/VWO决赛的模拟题，具体来源不重要，通过这道题读者朋友们可以对这项比赛有更加直接的体会。
试证明，以下关于l、m和n的方程无非负整数解：
3l + 3m + 3n = 20252025
这是一道数论题，可以通过整除性简单解决。
方程的左边是3个3的幂之和，考虑到2025等于45的平方，可以被3整除，所以考察方程两边模3的余数不是最好的选择。
因为方程右边同时可以被5整除，考察方程左边，任意一个3的幂模5的余数可能有4种结果，即
30 ≡ 1 (mod 5)
31 ≡ 3 (mod 5)
32 ≡ - 1 (mod 5)
33 ≡ 2 (mod 5)
…
根据指数模4的情况，这4种余数循环出现。
不过很不幸，如果方程左边的3个幂模5的余数分别为-1，-1和2时，这3个幂之和恰好能被5整除。无法得出矛盾的结果。
所以，模5似乎也用不上。
实际上，如果我们把模5和模8结合起来，这道题就迎刃而解了。
以下是我给出的解答。
先考虑模8。
因为，2025 = 2024 + 1 ≡ 1 (mod 8)
所以方程右边，20252025 ≡ 1 (mod 8)
对于3的幂模8的余数，只有2种可能：
30 ≡ 1 (mod 8)
31 ≡ 3 (mod 8)
…
根据指数的奇偶性，这2种余数循环出现。即，当指数k为偶数时，3k模8余1；当指数k为奇数时，3k模8余3。
假设方程成立，那么方程左边3个3的幂之和模8也余1，相当于从余数集合{1, 3}中取三个数，三个数之和模8余1。
从{1, 3}中取三个数，只可能有(1, 1, 1)，(1, 1, 3)，(1, 3, 3)，和(3, 3, 3)四种组合，这四种组合的数字之和分别为3，5，7和9。其中，只有(3, 3, 3)对应的9模8余1。这意味着，这3个幂模8都余3，即这3个幂的指数都为奇数。
因此，如果方程成立，那么l，m和n必然都是奇数。
再回过头考虑模5。
前面已经提到，方程右边是5的倍数。方程左边是3个3的幂之和，根据指数不同，每个3的幂模5的余数有4种可能的结果。
和前面讨论不同的是，现在我们得到了一个新的条件，即：这3个指数都为奇数。对于指数为奇数的情况，
31 ≡ 3 (mod 5)
33 ≡ 2 (mod 5)
…
由这个循环可知，指数为奇数的3的幂模5，其可能的余数只有2种，即：3和2。
如果方程成立，方程左边也应该被5整除，这相当于从余数集合{3, 2}中取三个数，三个数之和可以被5整除。
类似地，从{3, 2}中取三个数，只可能有(3, 3, 3)，(3, 3, 2)，(3, 2, 2)，和(2, 2, 2)四种组合，这四种组合的数字之和分别为9，8，7和6。其中，没有任何一个组合的三个数之和可以被5整除。
由此我们得出矛盾。因此，原关于l、m和n的方程无非负整数解。
证明完毕。
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