写在前面： 我们从今天开始会不定期地介绍一下 Chern-Weil 理论的相关内容 , 本文是该系列的第七篇 , 主要内容是 Berline-Vergne 局部化公式 ，原文源于张伟平院士的专著《Lecture on Chern-Weil Theory and Witten Deformations》和《流形上的几何与分析》, 在保留原文的基础上进行适当的补充 , 欢迎更多地数学物理爱好者关注！
Berline-Vergne 局部化公式
令 为一个偶数维的光滑闭定向流形 , 且假设 与一个圆周群 -作用相容 , 设 是 上的一个 Riemann 度量 , 不失一般性这里假定 是 -不变的 , 即给定 上的一个度量 , 通过对它在 上的积分就可以得到 是 -不变度量 . 而 上的 -作用自然诱导了它在 上的一个作用 , 使得对任意的 , 以及 , 有 . 令 为 的 Lie 代数的一个生成元 , 则 按照下面的方式典则地诱导了一个向量场 , 即对任意的 以及 , 有 .
由于 -作用保持度量 , 故 为 上的一个 Killing 向量场 , 于是这个向量场通过与 相联系的 Levi-Civita 联络 诱导了一个切丛 上的逆自伴同态 , 即对任意的 , 有 .
下面我们来证明上式 , 令 是由 给出的 上的 Lie 导数 , 由于 -作用保持度量 , 故 同意保持度量 , 即对任意的 , 有
因此得到 .
注意到 上的 Lie 导数 在 上有典则的诱导作用 , 于是我们仍用 表示 在 上的 Lie 导数 , 进而便有 上的 Cartan 同伦公式 , 其中 是由 Killing 向量场 的缩并所诱导的内乘算子 .
下面我们来证明 上的 Cartan 同伦公式 , 首先对任意的 , 可以直接证明
其次由于 与外微分算子 可交换 , 从而得到然后注意到 两边均满足 Leibniz 法则 , 因此由数学归纳法以及上述两个结果可知 对 上的任意微分形式均成立 .
令
为 -不变形式构成的子空间 , 且设
于是可以得到
从而 保持 且有 , 而相应的上同调群 被称为 的 -等变上同调 . 而如果 , 那么元素 则称为 -闭形式 , 于是由 可知 , -闭形式一定为 -不变形式 .
下面开始我们正式介绍 Berline-Vergne 等变局部化公式 . 事实上 Berline-Vergne 等变局部化公式表明 , -闭形式在 上的积分可以局部化到 Killing 向量场 的零点集上 , 为了方便讨论 , 我们仅对 具有离散零点集这个特殊情形下证明这个公式 , 更详细地内容可以参考《N.Berline , M.Verhne , Zéros d'un champ de vecteurs et classes charactéristiques équivariantes》.
首先来看一种最简单的情形 , 这个结果来自 Bismut , 可以参考《J.M.Bismut , Localization formulas , superconnections and the index theorem for families》 .
命题1：如果 在 上无零点 , 那么对于任意的 -闭形式 有 .
证明：令 为 上定义的 -形式且满足对任意的 有 . 注意到 保持度量 , 故很自然就得到了 , 然后根据 可知 , 是 -闭形式 .
为了证明上面的命题我们还需要下面的引理2 .
引理2：对任意的 和 -闭微分形式 , 有 .
证明：由于 是 -闭形式 , 故直接得到
再注意到 , 可以进一步得到
然后回到命题1的证明 , 因为
所以得到
再由于 在 上无零点 , 故 在 上存在某个正的下界 , 于是当 时上式的右端为指数衰减 , 最后根据引理2的结果 , 我们证明了命题1 .
现在我们假设 的零点集是离散集并记作 , 毕竟 Killing 向量场 的孤立零点集一定是非退化的 , 接下来利用每一点 处的指数映射 , 假定存在一个点 的充分小的开邻域 以及邻域上的一个定向坐标 , 使得在 上有
且有
其中 , 而对于 有 . 令 , 此时我们就可以叙述该情形下的 Berline-Vergne 等变局部化公式 .
定理3：如果 的零点是离散的 , 那么对任意的 -闭微分形式 , 有 (公式中2l改为l), 其中 是 的 次分量 .
证明：根据引理1可知
由于 在 上无零点 , 故根据命题1的证明方法可以得到当 时有
在一个点 的充分小的开邻域 上我们直接可以得到
进而得到
同理可以在点 的充分小的开邻域 上得到
于是对满足 的任意整数 , 我们令 为 的 次分量 , 则对任意的 直接可以有
现在我们对坐标系进行如下的伸缩变换
因此当 和 时 , 有
而当 以及 时 , 有
最后根据上面的讨论 , 我们就得到了(下式中2l改为l)
更一般地关于 的零点集的可能非离散的情形 , 同意可以参考《N.Berline , M.Verhne , Zéros d'un champ de vecteurs et classes charactéristiques équivariantes》和《J.M.Bismut , Localization formulas , superconnections and the index theorem for families》 .
参考文献：
[1] Weiping Zhang . Lecture on Chern-Weil Theory and Witten Deformations .
[2] N.Berline , E.Getzler , M.Vergne , Heat Kernels and Dirac Operators .
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