我们来初步介绍一下晶体物理和等离子体物理的相关基础知识 , 小编初次接触这方面 , 目前还在学习中 , 个人水平也稀松平常 , 本文如有不当之处 , 欢迎批评指正 , 更多精彩内容请关注：
众所周知 , 一般情形下的平面电磁波是具有确定的传播方向但却是广延于全空间中的波动 , 而实际应用的定向电磁波除了要求具有大致确定的传播方向以外 , 还要求它在空间中形成相对较为狭窄的电磁波束 , 即场强 在空间中的分布具有有限的宽度 . 近几十年发展起来的激光技术中则可以实现这一点 , 从激光器发射出来的光束一般都是很狭窄的光束(电磁波束) , 研究和讨论这种有限宽度的波束在自由空间中的传播的特点 , 对于激光技术和定向电磁波传输问题都有重要意义 , 本文我们从电磁场的基本方程出发研究电磁波束的传输特性 .
1.Helmholtz 方程的波束解
由于电磁波束的场强在横截面上的分布形式是由具体的激发条件所确定 , 故本文我们来研究一种较为简单且常见的电磁波束 , 这种波束的能量分布具有轴对称性 , 在中心场强最大 , 靠近边缘处场强迅速减弱 , 于是设电磁波束的对称轴为 轴 , 而在横截面上具有这种分布性质的最简单的函数是 Gauss 函数 , 其中 是电磁波束到中心 轴的距离 , 当 时 Gauss 函数的值迅速下降 , 这表明 表示电磁波束的宽度 .
由于电磁波束具有波动性的特点 , 在传播过程中一般无法保持截面不变 , 故电磁波束的宽度一般是关于 的函数 , 当波束的宽度增加时 , 场强会相应减弱 , 于是波幅一般也是关于 的函数 , 如果用 表示电磁场的任意一个直角分量 , 那么我们便可以假设 具有下面的形式 , 即
接下来我们解释一下上式中各个因子的物理意义 , 代表沿 方向的传播因子 , 如果电磁波具有确定的沿 轴方向的波矢 , 那么 就是唯一依赖于 的因子 , 但由于具有确定波矢的电磁波是广延于全空间的平面波 , 故任意的有限宽度的电磁波束都无法具有确定的波矢 , 从而电磁波束只能大概确定其传播方向 , 即 就是依赖于 的主要因子 , 而在剩余的因子中还含有关于 的缓变函数 和 , 另外 是限制电磁波束的宽度的因子 , 既然电磁波束不能具有完全确定的波矢 , 那么电磁波束的宽度也应该是 的缓变函数 , 则主要表示电磁波的振幅 , 同时它也包含了传播因子与纯平面波因子 偏离的部分 .
令 是关于 的缓变函数 , 这里缓变指的是相对于因子 而言的 , 当 时因子 已具有显著变化 , 现在我们假设 在 时变化很小 , 因此当它对 的展开式中可以忽略高次项 .
电磁场的任一直角分量 满足 Helmholtz 方程 , 将 代入上式且忽略 项后得到
注意到 是一种尝试解 , 如果这个尝试解满足上式 , 那么它就是一种可能的电磁波束形式 , 于是将这个尝试解上面的方程中得到
既然上式对任意的 均成立 , 那么得到 和 , 即 和 , 如果这两个方程有解的话 , 那么就意味着我们之前所给出的尝试解是一个正确的解 , 其中这个解与横截面坐标 有关的部分就完全包含在 Gauss 函数之中 , 而其它的因子仅仅是关于 的函数 .
方程 的解为 , 其中 为积分常数 , 而通过比较上面两个方程可以得到 是方程 的解 , 故 , 其中 是另一个积分常数 . 而 一般是复数 , 根据 的表达式可知 的虚部可以用 来抵消 , 即我们总可以选取 轴的原点使得 为实数 , 于是可以把 改写为如下形式 , 即
令 和 , 则可以继续改写 的表达式 , 即
因此 Gauss 函数为
另一方面 则可以改写为
其中 最后我们得到了电磁波束的场强函数
其中 .
2.Gauss 光束的传输特性
下面开始讨论上面的解 的意义 . 是相位因子 , 其余因子表示空间内各个点处电磁波的波幅 , 而因子 是限制电磁波束宽度的因子 , 其中 就代表波束宽度 , 根据
可知 , 在 处波束具有最小的宽度 , 我们称之为电磁波束腰部 , 离腰部越远处波束的宽度越大 . 另外 , 因子 是在 轴上电磁波的振幅 , 是波束腰部的振幅 , 则表示当波束宽度增加时振幅相应减弱 . 电磁波的相位为 , 波阵面是等相位的曲面且由方程 来确定 , 其中 为常数 , 根据
可知 , 当 时 , 这表明平面 是一个波阵面 , 即在波束腰部处波阵面是与 轴垂直的平面 .
距腰部远处 有 , 故我们讨论在远处等相位面处就可以略去 , 于是可以得到远处等相位面方程为 , 其中 为常数 , 注意到当 时有 , 这样等相位面方程就变为 或 , 因此在远处波阵面就是以腰部中点为球心的球面 , 波阵面的形状从腰部的平面逐渐过渡到远处的球面 .
如上图所示 , 在远处 还有 , 波束的发散角是由 确定 , 则有 , 从而 越小时发散角 越大 , 因此如果要求有良好的聚焦即 很小 , 那么发散角 必须足够大 , 如果要求有良好的定向即 小 , 那么宽度 不能太小 , 于是偏离轴向的波矢横向分量为 , 从而得到 , 即 , 这个结果显示了电磁波的空间分布宽度与波矢横向宽度之间的关系 , 这是波动现象的一个普遍关系 , 毕竟只有无限宽度的平面电磁波才具有完全确定的波矢 , 任何有限宽度的电磁波束都没有完全确定的波矢 .
3.小结
以上我们分析一种最简单的波模 , 当然电磁波束还有其它的波模 , 有些波模的径向分布不是简单的 Gauss 函数 , 还有一些波模不具有轴对称性 , 这些波模的特点都是横截面上含有一些波节即场强为零的点 , 故在横截面上会出现明暗相间的图样 , 类似于波导中的一般波动是各种波模的叠加 , 那么一般的电磁波束就可以分解为各种波模的叠加 , 不过具体情形产生的电磁波束的形状是由激发条件来决定的 .
参考文献与推荐阅读：
[1] K.Sakoda , Optical Properties of Photonic Crystals .
[2] J.A.Bittencourt , Fundamentals of Plasma Physics .
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